Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} + 3$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Multipliez $x^{2} + 3$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (2 x + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.7

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.8

Simplifiez

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Étape 1.1.8.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.8.2

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) - 1 \cdot - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.8.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.8.4

Réécrivez $- (x^{2} - 3)$ comme $- 1 (x^{2} - 3)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.8.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 3$

Étape 2.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Étape 2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3}$

Étape 2.3.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3}$

Étape 2.3.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $\sqrt{3}, - \sqrt{3}$ .

$\sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \sqrt{3})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2.7320508$ dans l’expression.

$f' (- 2.7320508) = - \frac{{(- 2.7320508)}^{2} - 3}{{({(- 2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 2.7320508$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2.7320508) = - \frac{7.46410157 - 3}{{({(- 2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.1.2

Soustrayez $3$ de $7.46410157$ .

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{({(- 2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.1

Élevez $- 2.7320508$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{(7.46410157 + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $7.46410157$ et $3$ .

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{10.46410157}^{2}}$

Étape 5.2.2.3

Élevez $10.46410157$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{109.49742174}$

Étape 5.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.3.1

Divisez $4.46410157$ par $109.49742174$ .

$f' (- 2.7320508) = - 1 \cdot 0.04076901$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $0.04076901$ .

$f' (- 2.7320508) = - 0.04076901$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $- 0.04076901$ .

$- 0.04076901$

Étape 5.3

Sur $x = - 2.7320508$ la dérivée est $- 0.04076901$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - \sqrt{3})$ .

Diminue sur $(- \infty, - \sqrt{3})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1.7320508, \sqrt{3})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = - \frac{{(0)}^{2} - 3}{{({(0)}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = - \frac{0 - 3}{{(0^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Soustrayez $3$ de $0$ .

$f' (0) = - \frac{- 3}{{(0^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = - \frac{- 3}{{(0 + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $0$ et $3$ .

$f' (0) = - \frac{- 3}{3^{2}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f' (0) = - \frac{- 3}{9}$

Étape 6.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $9$ .

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Étape 6.2.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$f' (0) = - \frac{3 (- 1)}{9}$

Étape 6.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f' (0) = - \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3}$

Étape 6.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (0) = - \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3}$

Étape 6.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (0) = - \frac{- 1}{3}$

Étape 6.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (0) = \frac{1}{3}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Étape 6.3

Sur $x = 0$ la dérivée est $\frac{1}{3}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 1.7320508, \sqrt{3})$ .

Augmente sur $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\sqrt{3}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2.7320508$ dans l’expression.

$f' (2.7320508) = - \frac{{(2.7320508)}^{2} - 3}{{({(2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $2.7320508$ à la puissance $2$ .

$f' (2.7320508) = - \frac{7.46410157 - 3}{{({2.7320508}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Soustrayez $3$ de $7.46410157$ .

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{({2.7320508}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Élevez $2.7320508$ à la puissance $2$ .

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{(7.46410157 + 3)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $7.46410157$ et $3$ .

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{10.46410157}^{2}}$

Étape 7.2.2.3

Élevez $10.46410157$ à la puissance $2$ .

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{109.49742174}$

Étape 7.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.3.1

Divisez $4.46410157$ par $109.49742174$ .

$f' (2.7320508) = - 1 \cdot 0.04076901$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $0.04076901$ .

$f' (2.7320508) = - 0.04076901$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $- 0.04076901$ .

$- 0.04076901$

Étape 7.3

Sur $x = 2.7320508$ la dérivée est $- 0.04076901$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(\sqrt{3}, \infty)$ .

Diminue sur $(\sqrt{3}, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$

Diminue sur : $(- \infty, - \sqrt{3}), (\sqrt{3}, \infty)$

Étape 9