Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{x} - 3 x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (2 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f' (x) = e^{x} - 6 x$

Étape 1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 6 x + e^{x}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 6 x + e^{x}$ .

$- 6 x + e^{x}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 6 x + e^{x} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 6 x + e^{x} = 0$

Étape 2.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx 0.20448144, 2.83314789$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0.20448144, 2.83314789$ .

$0.20448144, 2.83314789$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0.20448144) \cup (0.20448144, 2.83314789) \cup (2.83314789, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0.20448144)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.79551855$ dans l’expression.

$f' (- 0.79551855) = - 6 \cdot - 0.79551855 + e^{- 0.79551855}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $- 6$ par $- 0.79551855$ .

$f' (- 0.79551855) = 4.7731113 + e^{- 0.79551855}$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 0.79551855) = 4.7731113 + \frac{1}{e^{0.79551855}}$

Étape 5.2.2

Additionnez $4.7731113$ et $\frac{1}{e^{0.79551855}}$ .

$f' (- 0.79551855) = 5.22445842$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $5.22445842$ .

$5.22445842$

Étape 5.3

Sur $x = - 0.79551855$ la dérivée est $5.22445842$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, 0.20448144)$ .

Augmente sur $(- \infty, 0.20448144)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0.20448145, 2.83314789)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1.51881472$ dans l’expression.

$f' (1.51881472) = - 6 \cdot 1.51881472 + e^{1.51881472}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $- 6$ par $1.51881472$ .

$f' (1.51881472) = - 9.11288835 + e^{1.51881472}$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 9.11288835$ et $e^{1.51881472}$ .

$f' (1.51881472) = - 4.54607928$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 4.54607928$ .

$- 4.54607928$

Étape 6.3

Sur $x = 1.51881472$ la dérivée est $- 4.54607928$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0.20448145, 2.83314789)$ .

Diminue sur $(0.20448144, 2.83314789)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2.83314789, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $3.833148$ dans l’expression.

$f' (3.833148) = - 6 \cdot 3.833148 + e^{3.833148}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Multipliez $- 6$ par $3.833148$ .

$f' (3.833148) = - 22.998888 + e^{3.833148}$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 22.998888$ et $e^{3.833148}$ .

$f' (3.833148) = 23.20888358$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $23.20888358$ .

$23.20888358$

Étape 7.3

Sur $x = 3.833148$ la dérivée est $23.20888358$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(2.83314789, \infty)$ .

Augmente sur $(2.83314789, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, 0.20448144), (2.83314789, \infty)$

Diminue sur : $(0.20448144, 2.83314789)$

Étape 9