Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x - 4 \sqrt{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4 \sqrt{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.1.2.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 1 - 4 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 1.1.2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 1.1.2.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.1.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.1.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 1.1.2.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 1.1.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 1.1.2.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.1.2.10

Associez $- 4$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.1.2.11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.2.12

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.2.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 1.1.2.13.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.2.13.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = 1 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.2.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$

Étape 2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{\frac{1}{2}}, 1$

Étape 2.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$ par $x^{\frac{1}{2}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 = - x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.5

Résolvez l’équation.

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ .

$- x^{\frac{1}{2}} = - 2$

Étape 2.5.2

Divisez chaque terme dans $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{\frac{1}{2}}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.2

Divisez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 2$

Étape 2.5.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Étape 2.5.4

Simplifiez l’exposant.

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Étape 2.5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.4.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.5.4.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.5.4.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Étape 2.5.4.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.4.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Étape 2.5.4.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 2^{2}$

Étape 2.5.4.1.1.2

Simplifiez

$x = 2^{2}$

Étape 2.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.4.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = 4$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $4$ .

$4$

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$1 - \frac{2}{\sqrt{x^{1}}}$

Étape 4.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$1 - \frac{2}{\sqrt{x}}$

Étape 4.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{2}{\sqrt{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{x} = 0$

Étape 4.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.2

Simplifiez

$x = 0^{2}$

Étape 4.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 4.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x < 0$

Étape 4.5

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1.1.1

Réécrivez ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{\sqrt{- 1}}$

Étape 6.2.1.1.2

Évaluez l’exposant.

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{\sqrt{- 1}}$

Étape 6.2.1.1.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{i}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{2}{i}$ par le conjugué de $i$ pour rendre le dénominateur réel.

$f' (- 1) = 1 - (\frac{2}{i} \cdot \frac{i}{i})$

Étape 6.2.1.3

Multipliez.

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Étape 6.2.1.3.1

Associez.

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i i}$

Étape 6.2.1.3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1.3.2.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i i}$

Étape 6.2.1.3.2.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i i}$

Étape 6.2.1.3.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i^{1 + 1}}$

Étape 6.2.1.3.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i^{2}}$

Étape 6.2.1.3.2.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{- 1}$

Étape 6.2.1.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 i}{- 1}$ .

$f' (- 1) = 1 - (- 1 \cdot (2 i))$

Étape 6.2.1.5

Réécrivez $- 1 \cdot (2 i)$ comme $- (2 i)$ .

$f' (- 1) = 1 + 2 i$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 - (- 2 i)$

Étape 6.2.1.7

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 + 2 i$

Étape 6.2.2

La réponse finale est $1 + 2 i$ .

$1 + 2 i$

Étape 6.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $1 + 2 i$ . Comme elle contient un nombre imaginaire, la fonction n’existe pas sur $(- \infty, 0)$ .

La fonction n’est pas réelle sur $(- \infty, 0)$ car $f' (x)$ est imaginaire

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 4)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = 1 - \frac{2}{{(2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Placez ${(2)}^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (2) = 1 - (2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}})$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $2$ par $2^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.1.2.1

Multipliez $2$ par $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 7.2.1.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$f' (2) = 1 - (2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}})$

Étape 7.2.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (2) = 1 - 2^{1 - \frac{1}{2}}$

Étape 7.2.1.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (2) = 1 - 2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 7.2.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (2) = 1 - 2^{\frac{2 - 1}{2}}$

Étape 7.2.1.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f' (2) = 1 - 2^{\frac{1}{2}}$

Étape 7.2.2

La réponse finale est $1 - 2^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 2^{\frac{1}{2}}$

Étape 7.3

Simplifiez

$- 0.41421356$

Étape 7.4

Sur $x = 2$ la dérivée est $- 0.41421356$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 4)$ .

Diminue sur $(0, 4)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(4, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f' (5) = 1 - \frac{2}{{(5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (5) = 1 - \frac{2}{5^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.2

La réponse finale est $1 - \frac{2}{5^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 - \frac{2}{5^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.3

Simplifiez

$0.1055728$

Étape 8.4

Sur $x = 5$ la dérivée est $0.1055728$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(4, \infty)$ .

Augmente sur $(4, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(4, \infty)$

Diminue sur : $(0, 4)$

Étape 10