Calcul infinitésimal Exemples

$3 z^{- 2} - \frac{1}{z}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 z^{- 2} - \frac{1}{z}$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [3 z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$ .

$\frac{d}{d z} [3 z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d z} [3 z^{- 2}]$ .

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $3 z^{- 2}$ par rapport à $z$ est $3 \frac{d}{d z} [z^{- 2}]$ .

$3 \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$3 (- 2 z^{- 3}) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Étape 2.3

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$- 6 z^{- 3} + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$ .

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ est $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ où $f (z) = - 1$ et $g (z) = \frac{1}{z}$ .

$- 6 z^{- 3} - \frac{d}{d z} [\frac{1}{z}] + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{z}$ comme $z^{- 1}$ .

$- 6 z^{- 3} - \frac{d}{d z} [z^{- 1}] + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 6 z^{- 3} - - z^{- 2} + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $z$ est $0$ .

$- 6 z^{- 3} - - z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

Étape 3.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 6 z^{- 3} + 1 z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

Étape 3.6

Multipliez $z^{- 2}$ par $1$ .

$- 6 z^{- 3} + z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

Étape 3.7

Multipliez $\frac{1}{z}$ par $0$ .

$- 6 z^{- 3} + z^{- 2} + 0$

Étape 3.8

Additionnez $z^{- 2}$ et $0$ .

$- 6 z^{- 3} + z^{- 2}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$z^{- 2} - 6 z^{- 3}$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{z^{2}} - 6 z^{- 3}$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{z^{2}} - 6 \frac{1}{z^{3}}$

Étape 4.2.3

Associez $- 6$ et $\frac{1}{z^{3}}$ .

$\frac{1}{z^{2}} + \frac{- 6}{z^{3}}$

Étape 4.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{z^{2}} - \frac{6}{z^{3}}$