Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 8} \frac{x^{2} + 17 x + 72}{- 72 - 1 x + x^{2}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 8} x^{2} + 17 x + 72}{lim_{x \to - 8} - 72 - 1 x + x^{2}}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} x^{2} + lim_{x \to - 8} 17 x + lim_{x \to - 8} 72}{lim_{x \to - 8} - 72 - 1 x + x^{2}}$

Étape 1.2.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} 17 x + lim_{x \to - 8} 72}{lim_{x \to - 8} - 72 - 1 x + x^{2}}$

Étape 1.2.3

Placez le terme $17$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 17 lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} 72}{lim_{x \to - 8} - 72 - 1 x + x^{2}}$

Étape 1.2.4

Évaluez la limite de $72$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 17 lim_{x \to - 8} x + 72}{lim_{x \to - 8} - 72 - 1 x + x^{2}}$

Étape 1.2.5

Évaluez les limites en insérant $- 8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$\frac{{(- 8)}^{2} + 17 lim_{x \to - 8} x + 72}{lim_{x \to - 8} - 72 - 1 x + x^{2}}$

Étape 1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$\frac{{(- 8)}^{2} + 17 \cdot - 8 + 72}{lim_{x \to - 8} - 72 - 1 x + x^{2}}$

Étape 1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.6.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$\frac{64 + 17 \cdot - 8 + 72}{lim_{x \to - 8} - 72 - 1 x + x^{2}}$

Étape 1.2.6.1.2

Multipliez $17$ par $- 8$ .

$\frac{64 - 136 + 72}{lim_{x \to - 8} - 72 - 1 x + x^{2}}$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $136$ de $64$ .

$\frac{- 72 + 72}{lim_{x \to - 8} - 72 - 1 x + x^{2}}$

Étape 1.2.6.3

Additionnez $- 72$ et $72$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 8} - 72 - 1 x + x^{2}}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{0}{- lim_{x \to - 8} 72 - lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} x^{2}}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $72$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 72 - lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} x^{2}}$

Étape 1.3.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{- 1 \cdot 72 - lim_{x \to - 8} x + {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Évaluez les limites en insérant $- 8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.3.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 72 + 8 + {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}$

Étape 1.3.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 72 + 8 + {(- 8)}^{2}}$

Étape 1.3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.5.1.1

Multipliez $- 1$ par $72$ .

$\frac{0}{- 72 + 8 + {(- 8)}^{2}}$

Étape 1.3.5.1.2

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{- 72 + 8 + 64}$

Étape 1.3.5.2

Additionnez $- 72$ et $8$ .

$\frac{0}{- 64 + 64}$

Étape 1.3.5.3

Additionnez $- 64$ et $64$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.5.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 8} \frac{x^{2} + 17 x + 72}{- 72 - 1 x + x^{2}} = lim_{x \to - 8} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 17 x + 72]}{\frac{d}{d x} [- 72 - 1 x + x^{2}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 8} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 17 x + 72]}{\frac{d}{d x} [- 72 - 1 x + x^{2}]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 17 x + 72$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [17 x] + \frac{d}{d x} [72]$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [17 x] + \frac{d}{d x} [72]}{\frac{d}{d x} [- 72 - 1 x + x^{2}]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [17 x] + \frac{d}{d x} [72]}{\frac{d}{d x} [- 72 - 1 x + x^{2}]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [17 x]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $17$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $17 x$ par rapport à $x$ est $17 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 17 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [72]}{\frac{d}{d x} [- 72 - 1 x + x^{2}]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 17 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [72]}{\frac{d}{d x} [- 72 - 1 x + x^{2}]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $17$ par $1$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 17 + \frac{d}{d x} [72]}{\frac{d}{d x} [- 72 - 1 x + x^{2}]}$

Étape 3.5

Comme $72$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $72$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 17 + 0}{\frac{d}{d x} [- 72 - 1 x + x^{2}]}$

Étape 3.6

Additionnez $2 x + 17$ et $0$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 17}{\frac{d}{d x} [- 72 - 1 x + x^{2}]}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 72 - 1 x + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 72] + \frac{d}{d x} [- 1 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 17}{\frac{d}{d x} [- 72] + \frac{d}{d x} [- 1 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.8

Comme $- 72$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 72$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 17}{0 + \frac{d}{d x} [- 1 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 1 x]$ .

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Étape 3.9.1

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 17}{0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.9.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 17}{0 - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.9.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 17}{0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.9.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 17}{0 - 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 17}{0 - 1 + 2 x}$

Étape 3.11

Simplifiez

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Étape 3.11.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 17}{- 1 + 2 x}$

Étape 3.11.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 17}{2 x - 1}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 2 x + 17}{lim_{x \to - 8} 2 x - 1}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 2 x + lim_{x \to - 8} 17}{lim_{x \to - 8} 2 x - 1}$

Étape 6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} 17}{lim_{x \to - 8} 2 x - 1}$

Étape 7

Évaluez la limite de $17$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 8} x + 17}{lim_{x \to - 8} 2 x - 1}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 8} x + 17}{lim_{x \to - 8} 2 x - lim_{x \to - 8} 1}$

Étape 9

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 8} x + 17}{2 lim_{x \to - 8} x - lim_{x \to - 8} 1}$

Étape 10

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 8} x + 17}{2 lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $- 8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot - 8 + 17}{2 lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot - 8 + 17}{2 \cdot - 8 - 1 \cdot 1}$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1.1

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$\frac{- 16 + 17}{2 \cdot - 8 - 1 \cdot 1}$

Étape 12.1.2

Additionnez $- 16$ et $17$ .

$\frac{1}{2 \cdot - 8 - 1 \cdot 1}$

Étape 12.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.1

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$\frac{1}{- 16 - 1 \cdot 1}$

Étape 12.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{- 16 - 1}$

Étape 12.2.3

Soustrayez $1$ de $- 16$ .

$\frac{1}{- 17}$

Étape 12.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{17}$