Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 x + 200}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 5 x + 200}$

Étape 1.2

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5 x + 200}$

Étape 1.3

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 x + 200} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 200]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 200]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 x + 200]}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x + 200$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [200]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [200]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [200]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [200]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 + \frac{d}{d x} [200]}$

Étape 3.5

Comme $200$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $200$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 + 0}$

Étape 3.6

Additionnez $5$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5}$

Étape 4

Comme la fonction $e^{x}$ approche de $\infty$ , la constante positive $\frac{1}{5}$ fois la fraction approche également de $\infty$ .

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Étape 4.1

Étudiez la limite avec le multiple constant $\frac{1}{5}$ retiré.

$lim_{x \to \infty} e^{x}$

Étape 4.2

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $\infty$ .

$\infty$