Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{(\ln (x))}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}$

Étape 1.2

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}$

Étape 1.3

Lorsque $x$ approche de $\infty$ pour les radicaux, la valeur passe à $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\ln (x))}{\sqrt{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}$

Étape 3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}$

Étape 3.3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}$

Étape 3.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

Étape 3.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

Étape 3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}$

Étape 3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}$

Étape 3.8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}$

Étape 3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 3.10

Simplifiez

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Étape 3.10.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 3.10.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 5

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} (2 \sqrt{x})$

Étape 6

Combinez les facteurs.

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Étape 6.1

Associez $2$ et $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} \sqrt{x}$

Étape 6.2

Associez $\frac{2}{x}$ et $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x}}{x}$

Étape 7

Réduisez.

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Étape 7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{x}$

Étape 7.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (2 x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Étape 7.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (2 x^{- \frac{1}{2}})}{x^{1}}$

Étape 7.3.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (2 x^{- \frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

Étape 7.3.3

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (2 x^{- \frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

Étape 7.3.4

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{1}$

Étape 7.3.5

Divisez $2 x^{- \frac{1}{2}}$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} 2 x^{- \frac{1}{2}}$

Étape 7.4

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ approche de $0$ .

$2 \cdot 0$

Étape 10

Multipliez $2$ par $0$ .

$0$