Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - x - 1}{\cos (x) - 1}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - x - 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Étape 1.2.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Étape 1.2.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Étape 1.2.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{0} - lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Étape 1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{0} + 0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Étape 1.2.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 + 0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Étape 1.2.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 + 0 - 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Étape 1.2.5.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Étape 1.2.5.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 1}$

Étape 1.3.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}$

Étape 1.3.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\cos (0) - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - x - 1}{\cos (x) - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - x - 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - x - 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Étape 3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 + 0}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Étape 3.6

Additionnez $e^{x} - 1$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (x) - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.8

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{- \sin (x) + 0}$

Étape 3.10

Additionnez $- \sin (x)$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{- \sin (x)}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Étape 4.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 4.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 4.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Étape 4.1.2.1.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Étape 4.1.2.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Étape 4.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Étape 4.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.3.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Étape 4.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Étape 4.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Étape 4.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 4.1.3.1.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{- lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 4.1.3.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{- \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 4.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{- \sin (0)}$

Étape 4.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1.3.3.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{- 0}$

Étape 4.1.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 4.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 4.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 4.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{- \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 4.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 4.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 4.3.5

Additionnez $e^{x}$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 4.3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{- \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 4.3.7

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{- \cos (x)}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - \cos (x)}$

Étape 5.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} - \cos (x)}$

Étape 5.3

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{- lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 5.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{- \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{0}}{- \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{0}}{- \cos (0)}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Séparez les fractions.

$\frac{e^{0}}{- 1} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Étape 7.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (0)}$ à $\sec (0)$ .

$\frac{e^{0}}{- 1} \sec (0)$

Étape 7.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{e^{0}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot e^{0} \sec (0)$

Étape 7.4

Réécrivez $- 1 \cdot e^{0}$ comme $- e^{0}$ .

$- e^{0} \sec (0)$

Étape 7.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- 1 \cdot 1 \sec (0)$

Étape 7.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \sec (0)$

Étape 7.7

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 7.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$