Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{t \to 0} \frac{1 + t - e^{- t}}{\ln (t + 1)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{t \to 0} 1 + t - e^{- t}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} 1 + lim_{t \to 0} t - lim_{t \to 0} e^{- t}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{1 + lim_{t \to 0} t - lim_{t \to 0} e^{- t}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Étape 1.2.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1 + lim_{t \to 0} t - e^{lim_{t \to 0} - t}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Étape 1.2.4

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$\frac{1 + lim_{t \to 0} t - e^{- lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Étape 1.2.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $t$ .

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Étape 1.2.5.1

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{1 + 0 - e^{- lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Étape 1.2.5.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{1 + 0 - e^{0}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Étape 1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.6.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 + 0 - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Étape 1.2.6.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 + 0 - 1}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Étape 1.2.6.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Étape 1.2.6.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{0}{\ln (lim_{t \to 0} t + 1)}$

Étape 1.3.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{t \to 0} t + lim_{t \to 0} 1)}$

Étape 1.3.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{t \to 0} t + 1)}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{0}{\ln (0 + 1)}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Étape 1.3.3.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{t \to 0} \frac{1 + t - e^{- t}}{\ln (t + 1)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [1 + t - e^{- t}]}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [1 + t - e^{- t}]}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + t - e^{- t}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- e^{- t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- e^{- t}]}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- e^{- t}]}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 + \frac{d}{d t} [- e^{- t}]}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Étape 3.5

Évaluez $\frac{d}{d t} [- e^{- t}]$ .

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Étape 3.5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- e^{- t}$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - \frac{d}{d t} [e^{- t}]}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - t$ .

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Étape 3.5.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- t])}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Étape 3.5.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (e^{u} \frac{d}{d t} [- t])}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Étape 3.5.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t])}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Étape 3.5.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]))}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Étape 3.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (e^{- t} (- 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Étape 3.5.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (e^{- t} \cdot - 1)}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Étape 3.5.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (- 1 e^{- t})}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Étape 3.5.7

Réécrivez $- 1 e^{- t}$ comme $- e^{- t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - - e^{- t}}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Étape 3.5.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 + 1 e^{- t}}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Étape 3.5.9

Multipliez $e^{- t}$ par $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 + e^{- t}}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Étape 3.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \ln (t)$ et $g (t) = t + 1$ .

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Étape 3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t + 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t + 1]}$

Étape 3.7.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t + 1]}$

Étape 3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t + 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{t + 1} \frac{d}{d t} [t + 1]}$

Étape 3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{t + 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{t + 1} (1 + \frac{d}{d t} [1])}$

Étape 3.10

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{t + 1} (1 + 0)}$

Étape 3.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{t + 1} \cdot 1}$

Étape 3.12

Multipliez $\frac{1}{t + 1}$ par $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{t + 1}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{t \to 0} (1 + e^{- t}) (t + 1)$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$lim_{t \to 0} 1 + e^{- t} \cdot lim_{t \to 0} t + 1$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$(lim_{t \to 0} 1 + lim_{t \to 0} e^{- t}) \cdot lim_{t \to 0} t + 1$

Étape 7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $0$ .

$(1 + lim_{t \to 0} e^{- t}) \cdot lim_{t \to 0} t + 1$

Étape 8

Placez la limite dans l’exposant.

$(1 + e^{lim_{t \to 0} - t}) \cdot lim_{t \to 0} t + 1$

Étape 9

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$(1 + e^{- lim_{t \to 0} t}) \cdot lim_{t \to 0} t + 1$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$(1 + e^{- lim_{t \to 0} t}) \cdot (lim_{t \to 0} t + lim_{t \to 0} 1)$

Étape 11

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $0$ .

$(1 + e^{- lim_{t \to 0} t}) \cdot (lim_{t \to 0} t + 1)$

Étape 12

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $t$ .

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Étape 12.1

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$(1 + e^{0}) \cdot (lim_{t \to 0} t + 1)$

Étape 12.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$(1 + e^{0}) \cdot (0 + 1)$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$(1 + 1) \cdot (0 + 1)$

Étape 13.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \cdot (0 + 1)$

Étape 13.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 13.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$