Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \tan (θ^{\cos (θ)})$

Étape 1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\tan (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ^{\cos (θ)})$

Étape 2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 2.1

Réécrivez $θ^{\cos (θ)}$ comme $e^{\ln (θ^{\cos (θ)})}$ .

$\tan (lim_{θ \to \frac{π}{2}} e^{\ln (θ^{\cos (θ)})})$

Étape 2.2

Développez $\ln (θ^{\cos (θ)})$ en déplaçant $\cos (θ)$ hors du logarithme.

$\tan (lim_{θ \to \frac{π}{2}} e^{\cos (θ) \ln (θ)})$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez la limite dans l’exposant.

$\tan (e^{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (θ) \ln (θ)})$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\tan (e^{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (θ) \cdot lim_{θ \to \frac{π}{2}} \ln (θ)})$

Étape 3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\tan (e^{\cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) \cdot lim_{θ \to \frac{π}{2}} \ln (θ)})$

Étape 3.4

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\tan (e^{\cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) \cdot \ln (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)})$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{2}$ pour toutes les occurrences de $θ$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $θ$ .

$\tan (e^{\cos (\frac{π}{2}) \cdot \ln (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)})$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $θ$ .

$\tan (e^{\cos (\frac{π}{2}) \cdot \ln (\frac{π}{2})})$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\tan (e^{0 \cdot \ln (\frac{π}{2})})$

Étape 5.2

Simplifiez $0 \cdot \ln (\frac{π}{2})$ en déplaçant $0$ dans le logarithme.

$\tan (e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{0})})$

Étape 5.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\tan ({(\frac{π}{2})}^{0})$

Étape 5.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{π}{2}$ .

$\tan (\frac{π^{0}}{2^{0}})$

Étape 5.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\tan (\frac{1}{2^{0}})$

Étape 5.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\tan (\frac{1}{1})$

Étape 5.7

Divisez $1$ par $1$ .

$\tan (1)$

Étape 5.8

Évaluez $\tan (1)$ .

$1.55740772$