Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - x - \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 1.1.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Étape 1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x - \frac{1}{x} - 1$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x, 1, 1$

Étape 2.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ par $x$ .

$2 x \cdot x - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$2 (x \cdot x) - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Étape 2.3.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x}$ dans le numérateur.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Étape 2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Étape 2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{2} - 1 - x = 0 x$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $0$ par $x$ .

$2 x^{2} - 1 - x = 0$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 2.4.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.4.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

Étape 2.4.1.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 2.4.1.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

Étape 2.4.1.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $1$ plus $- 2$

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

Étape 2.4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

Étape 2.4.1.2.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

Étape 2.4.1.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.4.1.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

Étape 2.4.1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

Étape 2.4.1.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 2.4.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 2.4.3

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.3.1

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 2.4.3.2

Résolvez $2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 2.4.3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.4.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.4.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.4.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 2.4.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.4.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.4.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 4

Évaluez $x^{2} - x - \ln (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- \frac{1}{2}$ .

${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- \frac{1}{2}) - \ln (- \frac{1}{2})$

Étape 4.1.2

Le logarithme naturel d’un nombre négatif est indéfini.

Indéfini

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $1$ .

${(1)}^{2} - (1) - \ln (1)$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - (1) - \ln (1)$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 - 1 - \ln (1)$

Étape 4.2.2.1.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$1 - 1 - 0$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$1 - 1 + 0$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0 + 0$

Étape 4.2.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{2} - (0) - \ln (0)$

Étape 4.3.2

Le logarithme naturel de zéro est indéfini.

Indéfini

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(1, 0)$

Étape 5