Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{x} - x^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = e^{x} - \frac{d}{d x} x^{3}$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = e^{x} - (3 x^{2})$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 x^{2}$

Étape 1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 3 x^{2} + e^{x}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 x^{2} + e^{x}$ .

$- 3 x^{2} + e^{x}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3 x^{2} + e^{x} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3 x^{2} + e^{x} = 0$

Étape 2.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx - 0.45896226, 0.91000757, 3.73307902$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $e^{x} - x^{3}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - 0.45896226$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- 0.45896226$ .

$e^{- 0.45896226} - {(- 0.45896226)}^{3}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{0.45896226}} - {(- 0.45896226)}^{3}$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $- 0.45896226$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{e^{0.45896226}} - - 0.09667873$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 0.09667873$ .

$\frac{1}{e^{0.45896226}} + 0.09667873$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $\frac{1}{e^{0.45896226}}$ et $0.09667873$ .

$0.72861782$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 0.91000757$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $0.91000757$ .

$e^{0.91000757} - {(0.91000757)}^{3}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $0.91000757$ à la puissance $3$ .

$e^{0.91000757} - 1 \cdot 0.75358981$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0.75358981$ .

$e^{0.91000757} - 0.75358981$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $0.75358981$ de $e^{0.91000757}$ .

$1.73075153$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 3.73307902$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $3.73307902$ .

$e^{3.73307902} - {(3.73307902)}^{3}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Élevez $3.73307902$ à la puissance $3$ .

$e^{3.73307902} - 1 \cdot 52.02373776$

Étape 4.3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $52.02373776$ .

$e^{3.73307902} - 52.02373776$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez $52.02373776$ de $e^{3.73307902}$ .

$- 10.21610066$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(- 0.45896226, 0.72861782), (0.91000757, 1.73075153), (3.73307902, - 10.21610066)$

Étape 5