Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 \tan^{-1} (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \tan^{-1} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 \tan^{-1} (x)]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \tan^{-1} (x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\tan^{-1} (x)]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\tan^{-1} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\tan^{-1} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{1}{1 + x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

Étape 1.1.2.3

Associez $5$ et $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 3 \frac{d}{d x} x^{3}$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 3 (3 x^{2})$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 9 x^{2}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Associez des termes.

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Étape 1.1.4.1.1

Pour écrire $- 9 x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 9 x^{2} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$

Étape 1.1.4.1.2

Associez $- 9 x^{2}$ et $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} + \frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Étape 1.1.4.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{5 - 9 x^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Étape 1.1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5 = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 9 x^{2} \cdot 1 - 9 x^{2} x^{2} + 5 = 0$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$- 9 x^{2} - 9 x^{2} x^{2} + 5 = 0$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- 9 x^{2} - 9 (x^{2} x^{2}) + 5 = 0$

Étape 2.3.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 9 x^{2} - 9 x^{2 + 2} + 5 = 0$

Étape 2.3.1.3.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$- 9 x^{2} - 9 x^{4} + 5 = 0$

Étape 2.3.2

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$- 9 u^{2} - 9 u + 5 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 2.3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.3.4

Remplacez les valeurs $a = - 9$ , $b = - 9$ et $c = 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 9 \cdot 5)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.5.1.1

Élevez $- 9$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Étape 2.3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ .

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Étape 2.3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Étape 2.3.5.1.2.2

Multipliez $36$ par $5$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

Étape 2.3.5.1.3

Additionnez $81$ et $180$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

Étape 2.3.5.1.4

Réécrivez $261$ comme $3^{2} \cdot 29$ .

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Étape 2.3.5.1.4.1

Factorisez $9$ à partir de $261$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 2.3.5.1.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

Étape 2.3.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

Étape 2.3.5.3

Simplifiez $\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

Étape 2.3.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

Étape 2.3.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.6.1.1

Élevez $- 9$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Étape 2.3.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ .

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Étape 2.3.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Étape 2.3.6.1.2.2

Multipliez $36$ par $5$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

Étape 2.3.6.1.3

Additionnez $81$ et $180$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

Étape 2.3.6.1.4

Réécrivez $261$ comme $3^{2} \cdot 29$ .

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Étape 2.3.6.1.4.1

Factorisez $9$ à partir de $261$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 2.3.6.1.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

Étape 2.3.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

Étape 2.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

Étape 2.3.6.3

Simplifiez $\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

Étape 2.3.6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

Étape 2.3.6.5

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$u = - \frac{3 + \sqrt{29}}{6}$

Étape 2.3.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.7.1.1

Élevez $- 9$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Étape 2.3.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ .

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Étape 2.3.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Étape 2.3.7.1.2.2

Multipliez $36$ par $5$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

Étape 2.3.7.1.3

Additionnez $81$ et $180$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

Étape 2.3.7.1.4

Réécrivez $261$ comme $3^{2} \cdot 29$ .

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Étape 2.3.7.1.4.1

Factorisez $9$ à partir de $261$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 2.3.7.1.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

Étape 2.3.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

Étape 2.3.7.2

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

Étape 2.3.7.3

Simplifiez $\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

Étape 2.3.7.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

Étape 2.3.7.5

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$u = - \frac{3 - \sqrt{29}}{6}$

Étape 2.3.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - \frac{3 + \sqrt{29}}{6}, - \frac{3 - \sqrt{29}}{6}$

Étape 2.3.9

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = - 1.39752746$

${(x^{2})}^{1} = 0.39752746$

Étape 2.3.10

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = - 1.39752746$

Étape 2.3.11

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1.39752746}$

Étape 2.3.11.2

Simplifiez $\pm \sqrt{- 1.39752746}$ .

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Étape 2.3.11.2.1

Réécrivez $- 1.39752746$ comme $- 1 (1.39752746)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (1.39752746)}$

Étape 2.3.11.2.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (1.39752746)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.39752746}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.39752746}$

Étape 2.3.11.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{1.39752746}$

Étape 2.3.11.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.11.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{1.39752746}$

Étape 2.3.11.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{1.39752746}$

Étape 2.3.11.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}$

Étape 2.3.12

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 0.39752746$

Étape 2.3.13

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.13.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = 0.39752746$

Étape 2.3.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0.39752746}$

Étape 2.3.13.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.13.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{0.39752746}$

Étape 2.3.13.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{0.39752746}$

Étape 2.3.13.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$

Étape 2.3.14

La solution à $- 9 x^{4} - 9 x^{2} + 5 = 0$ est $x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}, \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$ .

$x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}, \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \sqrt{0.39752746}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\sqrt{0.39752746}$ .

$5 \tan^{-1} (\sqrt{0.39752746}) - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Évaluez $\tan^{-1} (\sqrt{0.39752746})$ .

$5 \cdot 0.56254301 - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $5$ par $0.56254301$ .

$2.81271509 - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

Étape 4.1.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{0.39752746}}^{3}$ comme $\sqrt{{0.39752746}^{3}}$ .

$2.81271509 - 3 \sqrt{{0.39752746}^{3}}$

Étape 4.1.2.1.4

Élevez $0.39752746$ à la puissance $3$ .

$2.81271509 - 3 \sqrt{0.0628205}$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $3 \sqrt{0.0628205}$ de $2.81271509$ .

$2.06079452$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - \sqrt{0.39752746}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- \sqrt{0.39752746}$ .

$5 \tan^{-1} (- \sqrt{0.39752746}) - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Évaluez $\tan^{-1} (- \sqrt{0.39752746})$ .

$5 \cdot - 0.56254301 - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $5$ par $- 0.56254301$ .

$- 2.81271509 - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

Étape 4.2.2.1.3

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{0.39752746}$ .

$- 2.81271509 - 3 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.39752746}}^{3})$

Étape 4.2.2.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 2.81271509 - 3 (- {\sqrt{0.39752746}}^{3})$

Étape 4.2.2.1.5

Réécrivez ${\sqrt{0.39752746}}^{3}$ comme $\sqrt{{0.39752746}^{3}}$ .

$- 2.81271509 - 3 (- \sqrt{{0.39752746}^{3}})$

Étape 4.2.2.1.6

Élevez $0.39752746$ à la puissance $3$ .

$- 2.81271509 - 3 (- \sqrt{0.0628205})$

Étape 4.2.2.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$- 2.81271509 + 3 \sqrt{0.0628205}$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $- 2.81271509$ et $3 \sqrt{0.0628205}$ .

$- 2.06079452$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(\sqrt{0.39752746}, 2.06079452), (- \sqrt{0.39752746}, - 2.06079452)$

Étape 5