Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 4}{x - 2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 3 x - 4$ et $g (x) = x - 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 3 x - 4) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 + 0) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7

Additionnez $2 x - 3$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.10

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.11

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.11.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.2.1.1

Développez $(x - 2) (2 x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.2.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.2.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2.1.3

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2.1.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 3 x - 4 x - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2.2

Soustrayez $4 x$ de $- 3 x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} + 3 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} + 3 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 6 + 3 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.3

Additionnez $- 7 x$ et $3 x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 6 + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.4

Additionnez $6$ et $4$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x^{2} - 4 x + 10 = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.3.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 4$ et $c = 10$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 10)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $10$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 40}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.3

Soustrayez $40$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.4

Réécrivez $- 24$ comme $- 1 (24)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (24)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.7

Réécrivez $24$ comme $2^{2} \cdot 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$

Étape 2.3.3.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 2 \pm i \sqrt{6}$

Étape 2.3.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $10$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 40}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.1.3

Soustrayez $40$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.1.4

Réécrivez $- 24$ comme $- 1 (24)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (24)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.1.7

Réécrivez $24$ comme $2^{2} \cdot 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$

Étape 2.3.4.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 2 \pm i \sqrt{6}$

Étape 2.3.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 2 + i \sqrt{6}$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $10$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 40}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.3

Soustrayez $40$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.4

Réécrivez $- 24$ comme $- 1 (24)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (24)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.7

Réécrivez $24$ comme $2^{2} \cdot 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$

Étape 2.3.5.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 2 \pm i \sqrt{6}$

Étape 2.3.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 2 - i \sqrt{6}$

Étape 2.3.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 2 + i \sqrt{6}, 2 - i \sqrt{6}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 3.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 4

Évaluez $\frac{x^{2} - 3 x - 4}{x - 2}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez sur $x = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$\frac{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 - 4}{(2) - 2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 - 4}{0}$

Étape 4.1.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 5

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé