Calcul infinitésimal Exemples

$C (t) = 3 t e^{- \frac{1}{30} t}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1.1

Associez $t$ et $\frac{1}{30}$ .

$f' (t) = \frac{d}{d t} (3 t e^{- \frac{t}{30}})$

Étape 1.1.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t e^{- \frac{t}{30}}$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t e^{- \frac{t}{30}}]$ .

$f' (t) = 3 \frac{d}{d t} (t e^{- \frac{t}{30}})$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t$ et $g (t) = e^{- \frac{t}{30}}$ .

$f' (t) = 3 (t \frac{d}{d t} (e^{- \frac{t}{30}}) + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - \frac{t}{30}$ .

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Étape 1.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- \frac{t}{30}$ .

$f' (t) = 3 (t (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d t} (- \frac{t}{30})) + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (t) = 3 (t (e^{u} \frac{d}{d t} (- \frac{t}{30})) + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 1.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{t}{30}$ .

$f' (t) = 3 (t (e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (- \frac{t}{30})) + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 1.1.4

Différenciez.

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Étape 1.1.4.1

Comme $- \frac{1}{30}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{t}{30}$ par rapport à $t$ est $- \frac{1}{30} \frac{d}{d t} [t]$ .

$f' (t) = 3 (t (e^{- \frac{t}{30}} (- \frac{1}{30} \cdot \frac{d}{d t} t)) + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 1.1.4.2

Associez les fractions.

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Étape 1.1.4.2.1

Associez $e^{- \frac{t}{30}}$ et $\frac{1}{30}$ .

$f' (t) = 3 (t (- \frac{e^{- \frac{t}{30}}}{30} \cdot \frac{d}{d t} t) + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 1.1.4.2.2

Associez $t$ et $\frac{e^{- \frac{t}{30}}}{30}$ .

$f' (t) = 3 (- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30} \cdot \frac{d}{d t} t + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 1.1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (t) = 3 (- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30} \cdot 1 + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 1.1.4.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (t) = 3 (- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30} + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 1.1.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (t) = 3 (- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30} + e^{- \frac{t}{30}} \cdot 1)$

Étape 1.1.4.6

Multipliez $e^{- \frac{t}{30}}$ par $1$ .

$f' (t) = 3 (- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30} + e^{- \frac{t}{30}})$

Étape 1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (t) = 3 (- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30}) + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

Étape 1.1.5.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (t) = - 3 \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

Étape 1.1.5.2.2

Associez $- 3$ et $\frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30}$ .

$f' (t) = \frac{- 3 (t e^{- \frac{t}{30}})}{30} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

Étape 1.1.5.2.3

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $30$ .

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Étape 1.1.5.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 t e^{- \frac{t}{30}}$ .

$f' (t) = \frac{3 (- t e^{- \frac{t}{30}})}{30} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

Étape 1.1.5.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.5.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $30$ .

$f' (t) = \frac{3 (- t e^{- \frac{t}{30}})}{3 (10)} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

Étape 1.1.5.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (t) = \frac{3 (- t e^{- \frac{t}{30}})}{3 \cdot 10} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

Étape 1.1.5.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (t) = \frac{- t e^{- \frac{t}{30}}}{10} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

Étape 1.1.5.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (t) = - \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{10} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $C (t)$ par rapport à $t$ est $- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{10} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$ .

$- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{10} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{10} + 3 e^{- \frac{t}{30}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{10} + 3 e^{- \frac{t}{30}} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $e^{- \frac{t}{30}}$ à partir de $- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{10} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $e^{- \frac{t}{30}}$ à partir de $- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{10}$ .

$e^{- \frac{t}{30}} (- \frac{t}{10}) + 3 e^{- \frac{t}{30}} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $e^{- \frac{t}{30}}$ à partir de $3 e^{- \frac{t}{30}}$ .

$e^{- \frac{t}{30}} (- \frac{t}{10}) + e^{- \frac{t}{30}} \cdot 3 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $e^{- \frac{t}{30}}$ à partir de $e^{- \frac{t}{30}} (- \frac{t}{10}) + e^{- \frac{t}{30}} \cdot 3$ .

$e^{- \frac{t}{30}} (- \frac{t}{10} + 3) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{- \frac{t}{30}} = 0$

$- \frac{t}{10} + 3 = 0$

Étape 2.4

Définissez $e^{- \frac{t}{30}}$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $e^{- \frac{t}{30}}$ égal à $0$ .

$e^{- \frac{t}{30}} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $e^{- \frac{t}{30}} = 0$ pour $t$ .

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Étape 2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- \frac{t}{30}}) = \ln (0)$

Étape 2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- \frac{t}{30}} = 0$

Aucune solution

Étape 2.5

Définissez $- \frac{t}{10} + 3$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $- \frac{t}{10} + 3$ égal à $0$ .

$- \frac{t}{10} + 3 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $- \frac{t}{10} + 3 = 0$ pour $t$ .

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{t}{10} = - 3$

Étape 2.5.2.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 10$ .

$- 10 (- \frac{t}{10}) = - 10 \cdot - 3$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.5.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.3.1.1

Simplifiez $- 10 (- \frac{t}{10})$ .

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Étape 2.5.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 2.5.2.3.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{t}{10}$ dans le numérateur.

$- 10 \frac{- t}{10} = - 10 \cdot - 3$

Étape 2.5.2.3.1.1.1.2

Factorisez $10$ à partir de $- 10$ .

$10 (- 1) \frac{- t}{10} = - 10 \cdot - 3$

Étape 2.5.2.3.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$10 \cdot - 1 \frac{- t}{10} = - 10 \cdot - 3$

Étape 2.5.2.3.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - t = - 10 \cdot - 3$

Étape 2.5.2.3.1.1.2

Multipliez.

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Étape 2.5.2.3.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 t = - 10 \cdot - 3$

Étape 2.5.2.3.1.1.2.2

Multipliez $t$ par $1$ .

$t = - 10 \cdot - 3$

Étape 2.5.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.3.2.1

Multipliez $- 10$ par $- 3$ .

$t = 30$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{- \frac{t}{30}} (- \frac{t}{10} + 3) = 0$ vraie.

$t = 30$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $3 t e^{- \frac{1}{30} t}$ sur chaque valeur $t$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $t = 30$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $t$ par $30$ .

$3 (30) \cdot e^{- \frac{1}{30} \cdot 30}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $3$ par $30$ .

$90 \cdot e^{- \frac{1}{30} \cdot 30}$

Étape 4.1.2.2

Annulez le facteur commun de $30$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{30}$ dans le numérateur.

$90 \cdot e^{\frac{- 1}{30} \cdot 30}$

Étape 4.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$90 \cdot e^{\frac{- 1}{30} \cdot 30}$

Étape 4.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$90 \cdot e^{- 1}$

Étape 4.1.2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$90 \cdot \frac{1}{e}$

Étape 4.1.2.4

Associez $90$ et $\frac{1}{e}$ .

$\frac{90}{e}$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(30, \frac{90}{e})$

Étape 5