Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} e^{- 2 x}$

Étape 1

Écrivez $x^{2} e^{- 2 x}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{2} e^{- 2 x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{- 2 x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 2 x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$x^{2} (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$x^{2} (e^{- 2 x} \cdot - 2) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.3.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- 2 x}$ .

$x^{2} (- 2 \cdot e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (2 x)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x$

Étape 2.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x$ .

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x^{2} e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- 2 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} e^{- 2 x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- 2 x})$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} e^{- 2 x}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2} e^{- 2 x}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- 2 x}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- 2 x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- 2 x})$

Étape 3.2.2

$f'' (x) = - 2 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- 2 x})$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 2 x$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- 2 x$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- 2 x)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- 2 x})$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- 2 x)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- 2 x})$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- 2 x$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (- 2 x)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- 2 x})$

Étape 3.2.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} x)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- 2 x})$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- 2 x})$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + e^{- 2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- 2 x})$

Étape 3.2.7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- 2 x} \cdot - 2) + e^{- 2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- 2 x})$

Étape 3.2.8

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- 2 x}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- 2 x})$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x e^{- 2 x}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x e^{- 2 x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x e^{- 2 x}]$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{- 2 x})$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- 2 x}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 2 x$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- 2 x$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (2 x)) + 2 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 2 x)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (2 x)) + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 2 x$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (2 x)) + 2 (x (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (- 2 x)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 3.3.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (2 x)) + 2 (x (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} x)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (2 x)) + 2 (x (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (2 x)) + 2 (x (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + e^{- 2 x} \cdot 1)$

Étape 3.3.7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (2 x)) + 2 (x (e^{- 2 x} \cdot - 2) + e^{- 2 x} \cdot 1)$

Étape 3.3.8

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- 2 x}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (2 x)) + 2 (x (- 2 \cdot e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \cdot 1)$

Étape 3.3.9

Multipliez $e^{- 2 x}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (2 x)) + 2 (x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x})$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (- 2 e^{- 2 x})) - 2 (e^{- 2 x} (2 x)) + 2 (x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x})$

Étape 3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (- 2 e^{- 2 x})) - 2 (e^{- 2 x} (2 x)) + 2 (x (- 2 e^{- 2 x})) + 2 e^{- 2 x}$

Étape 3.4.3

Associez des termes.

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Étape 3.4.3.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{- 2 x})) - 2 (e^{- 2 x} (2 x)) + 2 (x (- 2 e^{- 2 x})) + 2 e^{- 2 x}$

Étape 3.4.3.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{- 2 x} - 4 (e^{- 2 x} (x)) + 2 (x (- 2 e^{- 2 x})) + 2 e^{- 2 x}$

Étape 3.4.3.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{- 2 x} - 4 e^{- 2 x} x - 4 (x (e^{- 2 x})) + 2 e^{- 2 x}$

Étape 3.4.3.4

Soustrayez $4 x e^{- 2 x}$ de $- 4 e^{- 2 x} x$ .

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Étape 3.4.3.4.1

Déplacez $e^{- 2 x}$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{- 2 x} - 4 x e^{- 2 x} - 4 x e^{- 2 x} + 2 e^{- 2 x}$

Étape 3.4.3.4.2

Soustrayez $4 x e^{- 2 x}$ de $- 4 x e^{- 2 x}$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{- 2 x} - 8 x e^{- 2 x} + 2 e^{- 2 x}$

Étape 3.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 4 e^{- 2 x} x^{2} - 8 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$

Étape 3.4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4 e^{- 2 x} x^{2} - 8 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{- 2 x} - 8 x e^{- 2 x} + 2 e^{- 2 x}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 2 x$ .

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Étape 5.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2 x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 2 x)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} (- 2 x)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 5.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (- 2 x)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 5.1.3

Différenciez.

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} x)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 5.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.3.3.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- 2 x} \cdot - 2) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 5.1.3.3.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- 2 x}$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 \cdot e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 5.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (2 x)$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x$

Étape 5.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x$ .

$f' (x) = - 2 x^{2} e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 x^{2} e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x}$ .

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 x^{2} e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x} = 0$

Étape 6.2

Factorisez $2 x e^{- 2 x}$ à partir de $- 2 x^{2} e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x}$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $2 x e^{- 2 x}$ à partir de $- 2 x^{2} e^{- 2 x}$ .

$2 x e^{- 2 x} (- x) + 2 x e^{- 2 x} = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez $2 x e^{- 2 x}$ à partir de $2 x e^{- 2 x}$ .

$2 x e^{- 2 x} (- x) + 2 x e^{- 2 x} (1) = 0$

Étape 6.2.3

Factorisez $2 x e^{- 2 x}$ à partir de $2 x e^{- 2 x} (- x) + 2 x e^{- 2 x} (1)$ .

$2 x e^{- 2 x} (- x + 1) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$e^{- 2 x} = 0$

$- x + 1 = 0$

Étape 6.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.5

Définissez $e^{- 2 x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $e^{- 2 x}$ égal à $0$ .

$e^{- 2 x} = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez $e^{- 2 x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.5.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- 2 x}) = \ln (0)$

Étape 6.5.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 6.5.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- 2 x} = 0$

Aucune solution

Étape 6.6

Définissez $- x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.6.1

Définissez $- x + 1$ égal à $0$ .

$- x + 1 = 0$

Étape 6.6.2

Résolvez $- x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 6.6.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.6.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.6.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.6.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 6.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x e^{- 2 x} (- x + 1) = 0$ vraie.

$x = 0, 1$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0, 1$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$4 {(0)}^{2} e^{- 2 \cdot 0} - 8 \cdot 0 e^{- 2 \cdot 0} + 2 e^{- 2 \cdot 0}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 \cdot 0 e^{- 2 \cdot 0} - 8 \cdot 0 e^{- 2 \cdot 0} + 2 e^{- 2 \cdot 0}$

Étape 10.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$0 e^{- 2 \cdot 0} - 8 \cdot 0 e^{- 2 \cdot 0} + 2 e^{- 2 \cdot 0}$

Étape 10.1.3

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$0 e^{0} - 8 \cdot 0 e^{- 2 \cdot 0} + 2 e^{- 2 \cdot 0}$

Étape 10.1.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 \cdot 1 - 8 \cdot 0 e^{- 2 \cdot 0} + 2 e^{- 2 \cdot 0}$

Étape 10.1.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 - 8 \cdot 0 e^{- 2 \cdot 0} + 2 e^{- 2 \cdot 0}$

Étape 10.1.6

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$0 + 0 e^{- 2 \cdot 0} + 2 e^{- 2 \cdot 0}$

Étape 10.1.7

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 2 e^{- 2 \cdot 0}$

Étape 10.1.8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{- 2 \cdot 0}$

Étape 10.1.9

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + 0 + 2 e^{- 2 \cdot 0}$

Étape 10.1.10

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$0 + 0 + 2 e^{0}$

Étape 10.1.11

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 0 + 2 \cdot 1$

Étape 10.1.12

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 + 0 + 2$

Étape 10.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 10.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 2$

Étape 10.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$2$

Étape 11

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{2} e^{- 2 \cdot 0}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 e^{- 2 \cdot 0}$

Étape 12.2.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f (0) = 0 e^{0}$

Étape 12.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

Étape 12.2.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$f (0) = 0$

Étape 12.2.5

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$4 {(1)}^{2} e^{- 2 \cdot 1} - 8 \cdot 1 e^{- 2 \cdot 1} + 2 e^{- 2 \cdot 1}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 \cdot 1 e^{- 2 \cdot 1} - 8 \cdot 1 e^{- 2 \cdot 1} + 2 e^{- 2 \cdot 1}$

Étape 14.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 e^{- 2 \cdot 1} - 8 \cdot 1 e^{- 2 \cdot 1} + 2 e^{- 2 \cdot 1}$

Étape 14.1.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$4 e^{- 2} - 8 \cdot 1 e^{- 2 \cdot 1} + 2 e^{- 2 \cdot 1}$

Étape 14.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e^{2}} - 8 \cdot 1 e^{- 2 \cdot 1} + 2 e^{- 2 \cdot 1}$

Étape 14.1.5

Associez $4$ et $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 \cdot 1 e^{- 2 \cdot 1} + 2 e^{- 2 \cdot 1}$

Étape 14.1.6

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{- 2 \cdot 1} + 2 e^{- 2 \cdot 1}$

Étape 14.1.7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{- 2} + 2 e^{- 2 \cdot 1}$

Étape 14.1.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{- 2 \cdot 1}$

Étape 14.1.9

Associez $- 8$ et $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{- 2 \cdot 1}$

Étape 14.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2 \cdot 1}$

Étape 14.1.11

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Étape 14.1.12

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 \frac{1}{e^{2}}$

Étape 14.1.13

Associez $2$ et $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + \frac{2}{e^{2}}$

Étape 14.2

Associez les fractions.

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Étape 14.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 - 8 + 2}{e^{2}}$

Étape 14.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.2.2.1

Soustrayez $8$ de $4$ .

$\frac{- 4 + 2}{e^{2}}$

Étape 14.2.2.2

Additionnez $- 4$ et $2$ .

$\frac{- 2}{e^{2}}$

Étape 14.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{e^{2}}$

Étape 15

$x = 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = {(1)}^{2} e^{- 2 \cdot 1}$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 e^{- 2 \cdot 1}$

Étape 16.2.2

Multipliez $e^{- 2 \cdot 1}$ par $1$ .

$f (1) = e^{- 2 \cdot 1}$

Étape 16.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f (1) = e^{- 2}$

Étape 16.2.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1) = \frac{1}{e^{2}}$

Étape 16.2.5

La réponse finale est $\frac{1}{e^{2}}$ .

$y = \frac{1}{e^{2}}$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{2} e^{- 2 x}$ .

$(0, 0)$ est un minimum local

$(1, \frac{1}{e^{2}})$ est un maximum local

Étape 18