Calcul infinitésimal Exemples

$4 x y - x^{2} y - x y^{2}$

Étape 1

Écrivez $4 x y - x^{2} y - x y^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = 4 x y - x^{2} y - x y^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x y - x^{2} y - x y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x y$ par rapport à $x$ est $4 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 y + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2} y$ par rapport à $x$ est $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 y - y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 y - y (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 y - 2 y x + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y^{2}$ par rapport à $x$ est $- y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 y - 2 y x - y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 y - 2 y x - y^{2} \cdot 1$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 y - 2 y x - y^{2}$

Étape 2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$- y^{2} - 2 x y + 4 y$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- y^{2} - 2 x y + 4 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- y^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x y) + \frac{d}{d x} (4 y)$

Étape 3.1.2

Comme $- y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 x y) + \frac{d}{d x} (4 y)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x y$ par rapport à $x$ est $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 y \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4 y)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4 y)$

Étape 3.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 y + \frac{d}{d x} (4 y)$

Étape 3.3

Comme $4 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 - 2 y + 0$

Étape 3.4

Associez des termes.

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Étape 3.4.1

Soustrayez $2 y$ de $0$ .

$f'' (x) = - 2 y + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $- 2 y$ et $0$ .

$f'' (x) = - 2 y$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- y^{2} - 2 x y + 4 y = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x y - x^{2} y - x y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x y) + \frac{d}{d x} (- x^{2} y) + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $4 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x y$ par rapport à $x$ est $4 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 y \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{2} y) + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 4 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- x^{2} y) + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$f' (x) = 4 y + \frac{d}{d x} (- x^{2} y) + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2} y$ par rapport à $x$ est $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 y - y \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 4 y - y (2 x) + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = 4 y - 2 y x + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Étape 5.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

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Étape 5.1.4.1

Comme $- y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y^{2}$ par rapport à $x$ est $- y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 y - 2 y x - y^{2} \frac{d}{d x} x$

Étape 5.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 4 y - 2 y x - y^{2} \cdot 1$

Étape 5.1.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = 4 y - 2 y x - y^{2}$

Étape 5.1.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - y^{2} - 2 x y + 4 y$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- y^{2} - 2 x y + 4 y$ .

$- y^{2} - 2 x y + 4 y$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- y^{2} - 2 x y + 4 y = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- y^{2} - 2 x y + 4 y = 0$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.2.1

Ajoutez $y^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 x y + 4 y = y^{2}$

Étape 6.2.2

Soustrayez $4 y$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x y = y^{2} - 4 y$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $- 2 x y = y^{2} - 4 y$ par $- 2 y$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x y = y^{2} - 4 y$ par $- 2 y$ .

$\frac{- 2 x y}{- 2 y} = \frac{y^{2}}{- 2 y} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x y}{- 2 y} = \frac{y^{2}}{- 2 y} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Étape 6.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y}{y} = \frac{y^{2}}{- 2 y} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Étape 6.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 6.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{y} = \frac{y^{2}}{- 2 y} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Étape 6.3.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{- 2 y} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 6.3.3.1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$x = \frac{y \cdot y}{- 2 y} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Étape 6.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.3.1.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y$ .

$x = \frac{y \cdot y}{y \cdot - 2} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Étape 6.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{y \cdot y}{y \cdot - 2} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Étape 6.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{y}{- 2} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Étape 6.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{y}{2} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Étape 6.3.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $- 2$ .

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Étape 6.3.3.1.3.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 4 y$ .

$x = - \frac{y}{2} + \frac{- 2 (2 y)}{- 2 y}$

Étape 6.3.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.3.1.3.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 y$ .

$x = - \frac{y}{2} + \frac{- 2 (2 y)}{- 2 (y)}$

Étape 6.3.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{y}{2} + \frac{- 2 (2 y)}{- 2 y}$

Étape 6.3.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{y}{2} + \frac{2 y}{y}$

Étape 6.3.3.1.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 6.3.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{y}{2} + \frac{2 y}{y}$

Étape 6.3.3.1.4.2

Divisez $2$ par $1$ .

$x = - \frac{y}{2} + 2$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{y}{2} + 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{y}{2} + 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 y$

Étape 10

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 11