Calcul infinitésimal Exemples

$3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

Étape 1

Écrivez $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ comme une fonction.

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos^{3} (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$- 3 \sin (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 3 \sin (x) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 2.3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

Étape 2.3.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 \sin (x) - (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$- 3 \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

Étape 2.4.2

Factorisez $3 \sin (x)$ à partir de $3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ .

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Étape 2.4.2.1

Factorisez $3 \sin (x)$ à partir de $3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Étape 2.4.2.2

Factorisez $3 \sin (x)$ à partir de $- 3 \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$

Étape 2.4.2.3

Factorisez $3 \sin (x)$ à partir de $3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1)$

Étape 2.4.3

Remettez dans l’ordre $\cos^{2} (x)$ et $- 1$ .

$3 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x))$

Étape 2.4.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1) + \cos^{2} (x))$

Étape 2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)))$

Étape 2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

Étape 2.4.7

Réécrivez $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ comme $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)))$

Étape 2.4.8

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$3 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

Étape 2.4.9

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.9.1

Déplacez $\sin^{2} (x)$ .

$3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

Étape 2.4.9.2

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $\sin (x)$ .

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Étape 2.4.9.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$3 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cdot - 1$

Étape 2.4.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1$

Étape 2.4.9.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$3 \sin^{3} (x) \cdot - 1$

Étape 2.4.10

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 \sin^{3} (x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 \sin^{3} (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} \sin^{3} (x)$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$f'' (x) = - 9 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Étape 3.4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $\sin^{3} (x)$ par $1$ .

$\sin^{3} (x) = \frac{0}{- 3}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Divisez $0$ par $- 3$ .

$\sin^{3} (x) = 0$

Étape 6

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

Étape 7

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 7.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 7.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\sin (x) = 0$

Étape 8

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 9

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 10

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 11

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 12

La solution de l’équation est $x = 0$ .

$x = 0, π$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 9 \sin^{2} (0) \cos (0)$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- 9 \cdot 0^{2} \cos (0)$

Étape 14.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 9 \cdot 0 \cos (0)$

Étape 14.3

Multipliez $- 9$ par $0$ .

$0 \cos (0)$

Étape 14.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$0 \cdot 1$

Étape 14.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$0$

Étape 15

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 15.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, \infty)$

Étape 15.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $- 3 \sin^{3} (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 15.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = - 3 \sin^{3} (- 2)$

Étape 15.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.2.1

Évaluez $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 3 {(- 0.90929742)}^{3}$

Étape 15.2.2.2

Élevez $- 0.90929742$ à la puissance $3$ .

$f' (- 2) = - 3 \cdot - 0.75182694$

Étape 15.2.2.3

Multipliez $- 3$ par $- 0.75182694$ .

$f' (- 2) = 2.25548083$

Étape 15.2.2.4

La réponse finale est $2.25548083$ .

$2.25548083$

Étape 15.3

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, π)$ dans la dérivée première $- 3 \sin^{3} (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 15.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = - 3 \sin^{3} (2)$

Étape 15.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.3.2.1

Évaluez $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 3 \cdot {0.90929742}^{3}$

Étape 15.3.2.2

Élevez $0.90929742$ à la puissance $3$ .

$f' (2) = - 3 \cdot 0.75182694$

Étape 15.3.2.3

Multipliez $- 3$ par $0.75182694$ .

$f' (2) = - 2.25548083$

Étape 15.3.2.4

La réponse finale est $- 2.25548083$ .

$- 2.25548083$

Étape 15.4

Remplacez tout nombre, tel que $6$ , de l’intervalle $(π, \infty)$ dans la dérivée première $- 3 \sin^{3} (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 15.4.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f' (6) = - 3 \sin^{3} (6)$

Étape 15.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.4.2.1

Évaluez $\sin (6)$ .

$f' (6) = - 3 {(- 0.27941549)}^{3}$

Étape 15.4.2.2

Élevez $- 0.27941549$ à la puissance $3$ .

$f' (6) = - 3 \cdot - 0.02181481$

Étape 15.4.2.3

Multipliez $- 3$ par $- 0.02181481$ .

$f' (6) = 0.06544443$

Étape 15.4.2.4

La réponse finale est $0.06544443$ .

$0.06544443$

Étape 15.5

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un maximum local.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 15.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = π$ , $x = π$ est un minimum local.

$x = π$ est un minimum local

Étape 15.7

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ .

$x = 0$ est un maximum local

$x = π$ est un minimum local

$x = 0$ est un maximum local

$x = π$ est un minimum local

Étape 16