Calcul infinitésimal Exemples

$12 x y - x^{3} - 6 y^{2}$

Étape 1

Écrivez $12 x y - x^{3} - 6 y^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = 12 x y - x^{3} - 6 y^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x y - x^{3} - 6 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $12 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x y$ par rapport à $x$ est $12 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$12 y + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 y - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$12 y - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$12 y - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Étape 2.4

Comme $- 6 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 y - 3 x^{2} + 0$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Additionnez $12 y - 3 x^{2}$ et $0$ .

$12 y - 3 x^{2}$

Étape 2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 3 x^{2} + 12 y$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{2} + 12 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 y]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 y)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 y)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 y)$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (12 y)$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $12 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $- 6 x$ et $0$ .

$f'' (x) = - 6 x$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 3 x^{2} + 12 y = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x y - x^{3} - 6 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (12 x y) + \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 y^{2})$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x y]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $12 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x y$ par rapport à $x$ est $12 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 y \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 y^{2})$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 12 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 y^{2})$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$f' (x) = 12 y + \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 y^{2})$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 y - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 y^{2})$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 12 y - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 y^{2})$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f' (x) = 12 y - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 y^{2})$

Étape 5.1.4

Comme $- 6 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 12 y - 3 x^{2} + 0$

Étape 5.1.5

Simplifiez

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Étape 5.1.5.1

Additionnez $12 y - 3 x^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = 12 y - 3 x^{2}$

Étape 5.1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12 y$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 x^{2} + 12 y$ .

$- 3 x^{2} + 12 y$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3 x^{2} + 12 y = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 y = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $12 y$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x^{2} = - 12 y$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{2} = - 12 y$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{2} = - 12 y$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 12 y}{- 3}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 12 y}{- 3}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 12 y}{- 3}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $- 3$ .

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Étape 6.3.3.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 12 y$ .

$x^{2} = \frac{- 3 (4 y)}{- 3}$

Étape 6.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.3.1.2.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3$ .

$x^{2} = \frac{- 3 (4 y)}{- 3 (1)}$

Étape 6.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{- 3 (4 y)}{- 3 \cdot 1}$

Étape 6.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = \frac{4 y}{1}$

Étape 6.3.3.1.2.4

Divisez $4 y$ par $1$ .

$x^{2} = 4 y$

Étape 6.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4 y}$

Étape 6.5

Simplifiez $\pm \sqrt{4 y}$ .

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Étape 6.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} y}$

Étape 6.5.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm 2 \sqrt{y}$

Étape 6.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 \sqrt{y}$

Étape 6.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 \sqrt{y}$

Étape 6.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 \sqrt{y}$

$x = - 2 \sqrt{y}$

$x = 2 \sqrt{y}$

$x = - 2 \sqrt{y}$

$x = 2 \sqrt{y}$

$x = - 2 \sqrt{y}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 2 \sqrt{y}$

$x = - 2 \sqrt{y}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2 \sqrt{y}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 6 (2 \sqrt{y})$

Étape 10

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$- 12 \sqrt{y}$

Étape 11

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 12