Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = a x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [a x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a x^{3}$ par rapport à $x$ est $a \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$a (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.3

Déplacez $3$ à gauche de $a$ .

$3 a x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 a x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 a x^{2} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 a x^{2} + 4 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 a x^{2} + 4 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 a x^{2} + 4 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$3 a x^{2} + 4 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 a x^{2} + 4 x + 2 + 0$

Étape 1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.6.1

Additionnez $3 a x^{2} + 4 x + 2$ et $0$ .

$3 a x^{2} + 4 x + 2$

Étape 1.1.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 3 x^{2} a + 4 x + 2$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} a + 4 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2} a]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $3 a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2} a$ par rapport à $x$ est $3 a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 a (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 a x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 a x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 a x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$6 a x + 4 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.2.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 a x + 4 + 0$

Étape 1.2.4.2

Additionnez $6 a x + 4$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 a x + 4$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 a x + 4$ .

$6 a x + 4$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 a x + 4 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$6 a x + 4 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$6 a x = - 4$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $6 a x = - 4$ par $6 a$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $6 a x = - 4$ par $6 a$ .

$\frac{6 a x}{6 a} = \frac{- 4}{6 a}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 a x}{6 a} = \frac{- 4}{6 a}$

Étape 2.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a x}{a} = \frac{- 4}{6 a}$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a x}{a} = \frac{- 4}{6 a}$

Étape 2.3.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{6 a}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $6$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$x = \frac{2 (- 2)}{6 a}$

Étape 2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 a$ .

$x = \frac{2 (- 2)}{2 (3 a)}$

Étape 2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 (3 a)}$

Étape 2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 2}{3 a}$

Étape 2.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{3 a}$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $- \frac{2}{3 a}$ dans $f (x) = a x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{2}{3 a}$ dans l’expression.

$f (- \frac{2}{3 a}) = a {(- \frac{2}{3 a})}^{3} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{3 a}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = a ({(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3 a})}^{3}) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Étape 3.1.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3 a}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = a ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{{(3 a)}^{3}})) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Étape 3.1.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $3 a$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = a ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3} a^{3}})) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Étape 3.1.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (- \frac{2}{3 a}) = {(- 1)}^{3} a (\frac{2^{3}}{3^{3} a^{3}}) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Étape 3.1.2.1.3

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 3.1.2.1.3.1

Factorisez $a$ à partir de ${(- 1)}^{3} a$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = a {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3} a^{3}}) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Étape 3.1.2.1.3.2

Factorisez $a$ à partir de $3^{3} a^{3}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = a {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{a (3^{3} a^{2})}) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Étape 3.1.2.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2}{3 a}) = a {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{a (3^{3} a^{2})}) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Étape 3.1.2.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2}{3 a}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3} a^{2}}) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Étape 3.1.2.1.4

Associez ${(- 1)}^{3}$ et $\frac{2^{3}}{3^{3} a^{2}}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{{(- 1)}^{3} \cdot 2^{3}}{3^{3} a^{2}} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Étape 3.1.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.1.5.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{- 1 \cdot 2^{3}}{3^{3} a^{2}} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Étape 3.1.2.1.5.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{- 1 \cdot 8}{3^{3} a^{2}} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Étape 3.1.2.1.6

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{- 1 \cdot 8}{27 a^{2}} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Étape 3.1.2.1.7

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{- 8}{27 a^{2}} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Étape 3.1.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Étape 3.1.2.1.9

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.2.1.9.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{3 a}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3 a})}^{2}) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Étape 3.1.2.1.9.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3 a}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{{(3 a)}^{2}})) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Étape 3.1.2.1.9.3

Appliquez la règle de produit à $3 a$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2} a^{2}})) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Étape 3.1.2.1.10

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 (1 (\frac{2^{2}}{3^{2} a^{2}})) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Étape 3.1.2.1.11

Multipliez $\frac{2^{2}}{3^{2} a^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 (\frac{2^{2}}{3^{2} a^{2}}) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Étape 3.1.2.1.12

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 (\frac{4}{3^{2} a^{2}}) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Étape 3.1.2.1.13

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 (\frac{4}{9 a^{2}}) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Étape 3.1.2.1.14

Multipliez $2 \frac{4}{9 a^{2}}$ .

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Étape 3.1.2.1.14.1

Associez $2$ et $\frac{4}{9 a^{2}}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{2 \cdot 4}{9 a^{2}} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Étape 3.1.2.1.14.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8}{9 a^{2}} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Étape 3.1.2.1.15

Multipliez $2 (- \frac{2}{3 a})$ .

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Étape 3.1.2.1.15.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8}{9 a^{2}} - 2 \frac{2}{3 a} + 1$

Étape 3.1.2.1.15.2

Associez $- 2$ et $\frac{2}{3 a}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8}{9 a^{2}} + \frac{- 2 \cdot 2}{3 a} + 1$

Étape 3.1.2.1.15.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8}{9 a^{2}} + \frac{- 4}{3 a} + 1$

Étape 3.1.2.1.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8}{9 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$

Étape 3.1.2.2

Pour écrire $\frac{8}{9 a^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8}{9 a^{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3 a} + 1$

Étape 3.1.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $27 a^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1.2.3.1

Multipliez $\frac{8}{9 a^{2}}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8 \cdot 3}{9 a^{2} \cdot 3} - \frac{4}{3 a} + 1$

Étape 3.1.2.3.2

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8 \cdot 3}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$

Étape 3.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{- 8 + 8 \cdot 3}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$

Étape 3.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.5.1

Multipliez $8$ par $3$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{- 8 + 24}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$

Étape 3.1.2.5.2

Additionnez $- 8$ et $24$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{16}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$

Étape 3.1.2.6

La réponse finale est $\frac{16}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$ .

$\frac{16}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $- \frac{2}{3 a}$ dans $f (x) = a x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1$ est $(- \frac{2}{3 a}, \frac{16}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- \frac{2}{3 a}, \frac{16}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - \frac{2}{3 a}) \cup (- \frac{2}{3 a}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \frac{2}{3 a})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $N^{2} a - 0.1$ dans l’expression.

$f'' (N^{2} a - 0.1) = 6 a (N^{2} a - 0.1) + 4$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (N^{2} a - 0.1) = 6 a (N^{2} a) + 6 a \cdot - 0.1 + 4$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.2.1

Déplacez $a$ .

$f'' (N^{2} a - 0.1) = 6 (a \cdot a) N^{2} + 6 a \cdot - 0.1 + 4$

Étape 5.2.1.2.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$f'' (N^{2} a - 0.1) = 6 a^{2} N^{2} + 6 a \cdot - 0.1 + 4$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 0.1$ par $6$ .

$f'' (N^{2} a - 0.1) = 6 a^{2} N^{2} - 0.6 a + 4$

Étape 5.2.2

La réponse finale est $6 a^{2} N^{2} - 0.6 a + 4$ .

$6 a^{2} N^{2} - 0.6 a + 4$

Étape 5.3

Sur $N^{2} a - 0.1$ , la dérivée seconde est $N a N$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, - \frac{2}{3 a})$

Diminue sur $(- \infty, - \frac{2}{3 a})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \frac{2}{3 a}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $N^{2} a + 0.1$ dans l’expression.

$f'' (N^{2} a + 0.1) = 6 a (N^{2} a + 0.1) + 4$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (N^{2} a + 0.1) = 6 a (N^{2} a) + 6 a \cdot 0.1 + 4$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.2.1

Déplacez $a$ .

$f'' (N^{2} a + 0.1) = 6 (a \cdot a) N^{2} + 6 a \cdot 0.1 + 4$

Étape 6.2.1.2.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$f'' (N^{2} a + 0.1) = 6 a^{2} N^{2} + 6 a \cdot 0.1 + 4$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $0.1$ par $6$ .

$f'' (N^{2} a + 0.1) = 6 a^{2} N^{2} + 0.6 a + 4$

Étape 6.2.2

La réponse finale est $6 a^{2} N^{2} + 0.6 a + 4$ .

$6 a^{2} N^{2} + 0.6 a + 4$

Étape 6.3

Sur $N^{2} a + 0.1$ , la dérivée seconde est $N a N$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \frac{2}{3 a}, \infty)$

Diminue sur $(- \frac{2}{3 a}, \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Aucun point du graphe ne respecte ces exigences.

Aucun point d’inflexion