Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 8 e^{x} - e^{2 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 e^{x} - e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (8 e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{2 x})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 e^{x}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{2 x})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = 8 e^{x} + \frac{d}{d x} (- e^{2 x})$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - \frac{d}{d x} e^{2 x}$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 1.1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 1.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 1.1.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Étape 1.1.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

Étape 1.1.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

Étape 1.1.3.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - 2 e^{2 x}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 e^{x} - 2 e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 e^{x}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} e^{2 x}$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 1.2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 1.2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 1.2.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 1.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Étape 1.2.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (e^{2 x} \cdot 2)$

Étape 1.2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (2 \cdot e^{2 x})$

Étape 1.2.3.7

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 4 e^{2 x}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $8 e^{x} - 4 e^{2 x}$ .

$8 e^{x} - 4 e^{2 x}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $8 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$8 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $e^{2 x}$ comme ${(e^{x})}^{2}$ .

$8 e^{x} - 4 {(e^{x})}^{2} = 0$

Étape 2.2.2

Laissez $u = e^{x}$ . Remplacez toutes les occurrences de $e^{x}$ par $u$ .

$8 u - 4 u^{2} = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $4 u$ à partir de $8 u - 4 u^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Factorisez $4 u$ à partir de $8 u$ .

$4 u (2) - 4 u^{2} = 0$

Étape 2.2.3.2

Factorisez $4 u$ à partir de $- 4 u^{2}$ .

$4 u (2) + 4 u (- u) = 0$

Étape 2.2.3.3

Factorisez $4 u$ à partir de $4 u (2) + 4 u (- u)$ .

$4 u (2 - u) = 0$

Étape 2.2.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $e^{x}$ .

$4 e^{x} (2 - e^{x}) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$2 - e^{x} = 0$

Étape 2.4

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.5

Définissez $2 - e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $2 - e^{x}$ égal à $0$ .

$2 - e^{x} = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $2 - e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- e^{x} = - 2$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- e^{x} = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- e^{x} = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.2.2

Divisez $e^{x}$ par $1$ .

$e^{x} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$e^{x} = 2$

Étape 2.5.2.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Étape 2.5.2.4

Développez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.4.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Étape 2.5.2.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Étape 2.5.2.4.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (2)$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 e^{x} (2 - e^{x}) = 0$ vraie.

$x = \ln (2)$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\ln (2)$ dans $f (x) = 8 e^{x} - e^{2 x}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\ln (2)$ dans l’expression.

$f (\ln (2)) = 8 e^{\ln (2)} - e^{2 (\ln (2))}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (2)) = 8 \cdot 2 - e^{2 (\ln (2))}$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$f (\ln (2)) = 16 - e^{2 (\ln (2))}$

Étape 3.1.2.1.3

Simplifiez $2 (\ln (2))$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f (\ln (2)) = 16 - e^{\ln (2^{2})}$

Étape 3.1.2.1.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (2)) = 16 - 2^{2}$

Étape 3.1.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\ln (2)) = 16 - 1 \cdot 4$

Étape 3.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (\ln (2)) = 16 - 4$

Étape 3.1.2.2

Soustrayez $4$ de $16$ .

$f (\ln (2)) = 12$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $12$ .

$12$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $\ln (2)$ dans $f (x) = 8 e^{x} - e^{2 x}$ est $(\ln (2), 12)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\ln (2), 12)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, \ln (2)) \cup (\ln (2), \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \ln (2))$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0.59314718$ dans l’expression.

$f'' (0.59314718) = 8 e^{0.59314718} - 4 e^{2 (0.59314718)}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $2$ par $0.59314718$ .

$f'' (0.59314718) = 8 e^{0.59314718} - 4 e^{1.18629436}$

Étape 5.2.2

La réponse finale est $8 e^{0.59314718} - 4 e^{1.18629436}$ .

$8 e^{0.59314718} - 4 e^{1.18629436}$

Étape 5.3

Sur $0.59314718$ , la dérivée seconde est $1.37770663$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, \ln (2))$ .

Augmente sur $(- \infty, \ln (2))$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\ln (2), \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0.79314718$ dans l’expression.

$f'' (0.79314718) = 8 e^{0.79314718} - 4 e^{2 (0.79314718)}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $2$ par $0.79314718$ .

$f'' (0.79314718) = 8 e^{0.79314718} - 4 e^{1.58629436}$

Étape 6.2.2

La réponse finale est $8 e^{0.79314718} - 4 e^{1.58629436}$ .

$8 e^{0.79314718} - 4 e^{1.58629436}$

Étape 6.3

Sur $0.79314718$ , la dérivée seconde est $- 1.85970944$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(\ln (2), \infty)$

Diminue sur $(\ln (2), \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(\ln (2), 12)$ .

$(\ln (2), 12)$

Étape 8