Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 \cos^{2} (x) - 10 \sin (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 \cos^{2} (x) - 10 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 \cos^{2} (x)]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$f' (x) = 5 (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 5 (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Étape 1.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$f' (x) = 5 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Étape 1.1.2.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 5 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Étape 1.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = 5 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Étape 1.1.2.5

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$f' (x) = - 10 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f' (x) = - 10 \cos (x) \sin (x) - 10 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Étape 1.1.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 10 \cos (x) \sin (x) - 10 \cos (x)$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 10 \cos (x) \sin (x) - 10 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 10 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 \cos (x) \sin (x)]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 \cos (x) \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Étape 1.2.2.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Étape 1.2.2.4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Étape 1.2.2.5

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Étape 1.2.2.6

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Étape 1.2.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 10 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Étape 1.2.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Étape 1.2.2.9

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Étape 1.2.2.10

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Étape 1.2.2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Étape 1.2.2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 10 \frac{d}{d x} \cos (x)$

Étape 1.2.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 10 (- \sin (x))$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 10$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 10 \sin (x)$

Étape 1.2.4

Simplifiez

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Étape 1.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - 10 \cos^{2} (x) - 10 (- \sin^{2} (x)) + 10 \sin (x)$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 10$ .

$f'' (x) = - 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x)$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x)$ .

$- 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x)$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$

Étape 2.2

Remplacez le $- 10 \cos^{2} (x)$ par $- 10 (1 - \sin^{2} (x))$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$- 10 (1 - \sin^{2} (x)) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$

Étape 2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 10 \cdot 1 - 10 (- \sin^{2} (x)) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$- 10 - 10 (- \sin^{2} (x)) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 10$ .

$- 10 + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$

Étape 2.4

Additionnez $10 \sin^{2} (x)$ et $10 \sin^{2} (x)$ .

$- 10 + 20 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$

Étape 2.5

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$20 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) - 10 = 0$

Étape 2.6

Remplacez $\sin (x)$ par $u$ .

$20 {(u)}^{2} + 10 (u) - 10 = 0$

Étape 2.7

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.7.1

Factorisez $10$ à partir de $20 u^{2} + 10 u - 10$ .

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Étape 2.7.1.1

Factorisez $10$ à partir de $20 u^{2}$ .

$10 (2 u^{2}) + 10 u - 10 = 0$

Étape 2.7.1.2

Factorisez $10$ à partir de $10 u$ .

$10 (2 u^{2}) + 10 u - 10 = 0$

Étape 2.7.1.3

Factorisez $10$ à partir de $- 10$ .

$10 (2 u^{2}) + 10 u + 10 (- 1) = 0$

Étape 2.7.1.4

Factorisez $10$ à partir de $10 (2 u^{2}) + 10 u$ .

$10 (2 u^{2} + u) + 10 (- 1) = 0$

Étape 2.7.1.5

Factorisez $10$ à partir de $10 (2 u^{2} + u) + 10 (- 1)$ .

$10 (2 u^{2} + u - 1) = 0$

Étape 2.7.2

Factorisez.

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Étape 2.7.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.7.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 2.7.2.1.1.1

Multipliez par $1$ .

$10 (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

Étape 2.7.2.1.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 1$ plus $2$

$10 (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

Étape 2.7.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$10 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Étape 2.7.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.7.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$10 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Étape 2.7.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$10 (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

Étape 2.7.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u - 1$ .

$10 ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

Étape 2.7.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$10 (2 u - 1) (u + 1) = 0$

Étape 2.8

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Étape 2.9

Définissez $2 u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 2.9.1

Définissez $2 u - 1$ égal à $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Étape 2.9.2

Résolvez $2 u - 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 2.9.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 u = 1$

Étape 2.9.2.2

Divisez chaque terme dans $2 u = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.9.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 u = 1$ par $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.9.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.9.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.9.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.9.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Étape 2.10

Définissez $u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 2.10.1

Définissez $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 2.10.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 2.11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $10 (2 u - 1) (u + 1) = 0$ vraie.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Étape 2.12

Remplacez $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Étape 2.13

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - 1$

Étape 2.14

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.14.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 2.14.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.14.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 2.14.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{6}$

Étape 2.14.4

Simplifiez $π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 2.14.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 2.14.4.2

Associez les fractions.

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Étape 2.14.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 2.14.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 2.14.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.14.4.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 2.14.4.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 2.14.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 2.14.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.14.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.14.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.14.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.14.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.15

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - 1$ .

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Étape 2.15.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Étape 2.15.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.15.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Étape 2.15.3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 2.15.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 2.15.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 2.15.4.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 2.15.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 2.15.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.15.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.15.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.15.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.15.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 2.15.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{2}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Étape 2.15.6.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.15.6.3

Associez les fractions.

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Étape 2.15.6.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.15.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 2.15.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.15.6.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Étape 2.15.6.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Étape 2.15.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 2.15.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.16

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.17

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{π}{6}$ dans $f (x) = 5 \cos^{2} (x) - 10 \sin (x)$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{6}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{6}) = 5 \cos^{2} (\frac{π}{6}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 5 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Étape 3.1.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Étape 3.1.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.1.2.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Étape 3.1.2.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Étape 3.1.2.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Étape 3.1.2.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Étape 3.1.2.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{3}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Étape 3.1.2.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{3}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Étape 3.1.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{3}{4}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Étape 3.1.2.1.5

Multipliez $5 (\frac{3}{4})$ .

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Étape 3.1.2.1.5.1

Associez $5$ et $\frac{3}{4}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{5 \cdot 3}{4} - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Étape 3.1.2.1.5.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Étape 3.1.2.1.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} - 10 (\frac{1}{2})$

Étape 3.1.2.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.1.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} + 2 (- 5) (\frac{1}{2})$

Étape 3.1.2.1.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} + 2 \cdot (- 5 (\frac{1}{2}))$

Étape 3.1.2.1.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} - 5$

Étape 3.1.2.2

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} - 5 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 3.1.2.3

Associez $- 5$ et $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} + \frac{- 5 \cdot 4}{4}$

Étape 3.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15 - 5 \cdot 4}{4}$

Étape 3.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.5.1

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15 - 20}{4}$

Étape 3.1.2.5.2

Soustrayez $20$ de $15$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{- 5}{4}$

Étape 3.1.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{π}{6}) = - \frac{5}{4}$

Étape 3.1.2.7

La réponse finale est $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4}$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $\frac{π}{6}$ dans $f (x) = 5 \cos^{2} (x) - 10 \sin (x)$ est $(\frac{π}{6}, - \frac{5}{4})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{π}{6}, - \frac{5}{4})$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{π}{6})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0.42359877$ dans l’expression.

$f'' (0.42359877) = - 10 \cos^{2} (0.42359877) + 10 \sin^{2} (0.42359877) + 10 \sin (0.42359877)$

Étape 5.2

La réponse finale est $- 10 \cos^{2} (0.42359877) + 10 \sin^{2} (0.42359877) + 10 \sin (0.42359877)$ .

$- 10 \cos^{2} (0.42359877) + 10 \sin^{2} (0.42359877) + 10 \sin (0.42359877)$

Étape 5.3

Sur $0.42359877$ , la dérivée seconde est $- 2.51042168$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, \frac{π}{6})$

Diminue sur $(- \infty, \frac{π}{6})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{π}{6}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0.62359877$ dans l’expression.

$f'' (0.62359877) = - 10 \cos^{2} (0.62359877) + 10 \sin^{2} (0.62359877) + 10 \sin (0.62359877)$

Étape 6.2

La réponse finale est $- 10 \cos^{2} (0.62359877) + 10 \sin^{2} (0.62359877) + 10 \sin (0.62359877)$ .

$- 10 \cos^{2} (0.62359877) + 10 \sin^{2} (0.62359877) + 10 \sin (0.62359877)$

Étape 6.3

Sur $0.62359877$ , la dérivée seconde est $2.65979756$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(\frac{π}{6}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{π}{6}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(\frac{π}{6}, - \frac{5}{4})$ .

$(\frac{π}{6}, - \frac{5}{4})$

Étape 8