Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 \sin (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \sin (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2})$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2})$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (2 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) - 2 \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x$

Étape 1.1.3.4

Associez $- 2$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) + \frac{- 2 \sqrt{3}}{2} x$

Étape 1.1.3.5

Associez $\frac{- 2 \sqrt{3}}{2}$ et $x$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) + \frac{- 2 \sqrt{3} x}{2}$

Étape 1.1.3.6

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 1.1.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{3} x$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) + \frac{2 (- \sqrt{3} x)}{2}$

Étape 1.1.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) + \frac{2 (- \sqrt{3} x)}{2 (1)}$

Étape 1.1.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = 2 \cos (x) + \frac{2 (- \sqrt{3} x)}{2 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = 2 \cos (x) + \frac{- \sqrt{3} x}{1}$

Étape 1.1.3.6.2.4

Divisez $- \sqrt{3} x$ par $1$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) - \sqrt{3} x$

Étape 1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - x \sqrt{3} + 2 \cos (x)$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x \sqrt{3} + 2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x \sqrt{3}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x \sqrt{3}) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x \sqrt{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $- \sqrt{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x \sqrt{3}$ par rapport à $x$ est $- \sqrt{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \sqrt{3} \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \sqrt{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - \sqrt{3} + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = - \sqrt{3} + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Étape 1.2.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sqrt{3} + 2 (- \sin (x))$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = - \sqrt{3} - 2 \sin (x)$

Étape 1.2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - \sqrt{3}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \sin (x) - \sqrt{3}$ .

$- 2 \sin (x) - \sqrt{3}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 \sin (x) - \sqrt{3} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 2 \sin (x) - \sqrt{3} = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $\sqrt{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin (x) = \sqrt{3}$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (x) = \sqrt{3}$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (x) = \sqrt{3}$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{\sqrt{3}}{- 2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{\sqrt{3}}{- 2}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{- 2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 2.4

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 2.5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ est $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Étape 2.6

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Étape 2.7

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 2.7.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Étape 2.7.2

L’angle résultant de $\frac{4 π}{3}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 2.8

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 2.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.8.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.8.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.9

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 2.9.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{3}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Étape 2.9.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 2.9.3

Associez les fractions.

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Étape 2.9.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 2.9.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 2.9.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.4.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Étape 2.9.4.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Étape 2.9.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 2.10

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{4 π}{3}$ dans $f (x) = 2 \sin (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{4 π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \sin (\frac{4 π}{3}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{4 π}{3})}^{2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (- \sin (\frac{π}{3})) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{4 π}{3})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{4 π}{3})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{4 π}{3})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{4 π}{3})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{4 π}{3})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.2.1.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{4 π}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{{(4 π)}^{2}}{3^{2}}$

Étape 3.1.2.1.4.2

Appliquez la règle de produit à $4 π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4^{2} π^{2}}{3^{2}}$

Étape 3.1.2.1.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{16 π^{2}}{3^{2}}$

Étape 3.1.2.1.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{16 π^{2}}{9}$

Étape 3.1.2.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.1.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \sqrt{3} + \frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{16 π^{2}}{9}$

Étape 3.1.2.1.7.2

Factorisez $2$ à partir de $16 π^{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \sqrt{3} + \frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 (8 π^{2})}{9}$

Étape 3.1.2.1.7.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \sqrt{3} + \frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 (8 π^{2})}{9}$

Étape 3.1.2.1.7.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot \frac{8 π^{2}}{9}$

Étape 3.1.2.1.8

Associez $\frac{8 π^{2}}{9}$ et $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{8 π^{2} \sqrt{3}}{9}$

Étape 3.1.2.2

La réponse finale est $- \sqrt{3} - \frac{8 π^{2} \sqrt{3}}{9}$ .

$- \sqrt{3} - \frac{8 π^{2} \sqrt{3}}{9}$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $\frac{4 π}{3}$ dans $f (x) = 2 \sin (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2}$ est $(\frac{4 π}{3}, - \sqrt{3} - \frac{8 π^{2} \sqrt{3}}{9})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{4 π}{3}, - \sqrt{3} - \frac{8 π^{2} \sqrt{3}}{9})$

Étape 3.3

Remplacez $\frac{5 π}{3}$ dans $f (x) = 2 \sin (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5 π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 \sin (\frac{5 π}{3}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{5 π}{3})}^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 (- \sin (\frac{π}{3})) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{5 π}{3})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{5 π}{3})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{5 π}{3})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{5 π}{3})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{5 π}{3})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.3.2.1.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5 π}{3}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{{(5 π)}^{2}}{3^{2}}$

Étape 3.3.2.1.4.2

Appliquez la règle de produit à $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5^{2} π^{2}}{3^{2}}$

Étape 3.3.2.1.5

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{25 π^{2}}{3^{2}}$

Étape 3.3.2.1.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{25 π^{2}}{9}$

Étape 3.3.2.1.7

Multipliez $- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{25 π^{2}}{9}$ .

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Étape 3.3.2.1.7.1

Multipliez $\frac{25 π^{2}}{9}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{25 π^{2} \sqrt{3}}{9 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.7.2

Multipliez $9$ par $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{25 π^{2} \sqrt{3}}{18}$

Étape 3.3.2.2

La réponse finale est $- \sqrt{3} - \frac{25 π^{2} \sqrt{3}}{18}$ .

$- \sqrt{3} - \frac{25 π^{2} \sqrt{3}}{18}$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $\frac{5 π}{3}$ dans $f (x) = 2 \sin (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2}$ est $(\frac{5 π}{3}, - \sqrt{3} - \frac{25 π^{2} \sqrt{3}}{18})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{5 π}{3}, - \sqrt{3} - \frac{25 π^{2} \sqrt{3}}{18})$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(\frac{4 π}{3}, - \sqrt{3} - \frac{8 π^{2} \sqrt{3}}{9}), (\frac{5 π}{3}, - \sqrt{3} - \frac{25 π^{2} \sqrt{3}}{18})$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, \frac{4 π}{3}) \cup (\frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3}) \cup (\frac{5 π}{3}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{4 π}{3})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $4.0887902$ dans l’expression.

$f'' (4.0887902) = - 2 \sin (4.0887902) - \sqrt{3}$

Étape 5.2

La réponse finale est $- 2 \sin (4.0887902) - \sqrt{3}$ .

$- 2 \sin (4.0887902) - \sqrt{3}$

Étape 5.3

Sur $4.0887902$ , la dérivée seconde est $- 0.10848645$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, \frac{4 π}{3})$

Diminue sur $(- \infty, \frac{4 π}{3})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $4.71238898$ dans l’expression.

$f'' (4.71238898) = - 2 \sin (4.71238898) - \sqrt{3}$

Étape 6.2

La réponse finale est $- 2 \sin (4.71238898) - \sqrt{3}$ .

$- 2 \sin (4.71238898) - \sqrt{3}$

Étape 6.3

Sur $4.71238898$ , la dérivée seconde est $0.26794919$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(\frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3})$ .

Augmente sur $(\frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3})$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{5 π}{3}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $5.33598775$ dans l’expression.

$f'' (5.33598775) = - 2 \sin (5.33598775) - \sqrt{3}$

Étape 7.2

La réponse finale est $- 2 \sin (5.33598775) - \sqrt{3}$ .

$- 2 \sin (5.33598775) - \sqrt{3}$

Étape 7.3

Sur $5.33598775$ , la dérivée seconde est $- 0.10848645$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(\frac{5 π}{3}, \infty)$

Diminue sur $(\frac{5 π}{3}, \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(\frac{4 π}{3}, - \sqrt{3} - \frac{8 π^{2} \sqrt{3}}{9}), (\frac{5 π}{3}, - \sqrt{3} - \frac{25 π^{2} \sqrt{3}}{18})$ .

$(\frac{4 π}{3}, - \sqrt{3} - \frac{8 π^{2} \sqrt{3}}{9}), (\frac{5 π}{3}, - \sqrt{3} - \frac{25 π^{2} \sqrt{3}}{18})$

Étape 9