Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{\frac{2}{3}} e^{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Étape 1.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 1.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.1.7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Étape 1.1.7.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Étape 1.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Étape 1.1.9

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 1.1.10

Associez $e^{x}$ et $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{e^{x} (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Étape 1.1.11

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.11.1

Placez $x^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{e^{x} \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.11.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{x}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 \cdot e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.11.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = e^{x} x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{2}{3}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 1.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 1.2.2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 1.2.2.5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 1.2.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 1.2.2.7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 1.2.2.7.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 1.2.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 1.2.2.9

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$e^{x} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 1.2.2.10

Associez $e^{x}$ et $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{e^{x} (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 1.2.2.11

Placez $x^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e^{x} \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 1.2.2.12

Déplacez $2$ à gauche de $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.6

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.8

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.8.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.8.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.10

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.11

Associez $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ et $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{x^{- \frac{2}{3}} e^{x}}{3}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.12

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.13

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.13.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Étape 1.2.3.13.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.3.14

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 (x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 (x^{\frac{1}{3}} e^{x}) + 2 (- \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - 2 \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} + \frac{- 2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.2.4

Pour écrire $\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.2.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3 x^{\frac{2}{3}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.5.1

Multipliez $\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ par $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x} x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.2.5.2

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $x^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.5.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x} x^{\frac{1}{3}}}{3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.2.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x} x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.2.5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x} x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1 + 1}{3}}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.2.5.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x} x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x} x^{\frac{1}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.2.7

Additionnez $2 e^{x} x^{\frac{1}{3}}$ et $2 x^{\frac{1}{3}} e^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.7.1

Déplacez $e^{x}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} + 2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.2.7.2

Additionnez $2 x^{\frac{1}{3}} e^{x}$ et $2 x^{\frac{1}{3}} e^{x}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.2.8

Pour écrire $x^{\frac{2}{3}} e^{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.2.9

Associez $x^{\frac{2}{3}} e^{x}$ et $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}} e^{x} (3 x^{\frac{2}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{2}{3}} e^{x} (3 x^{\frac{2}{3}}) + 4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}} e^{x} \cdot 3 + 4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.2.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{2 + 2}{3}} e^{x} \cdot 3 + 4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.2.13

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{x^{\frac{4}{3}} e^{x} \cdot 3 + 4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.2.14

Déplacez $3$ à gauche de $x^{\frac{4}{3}} e^{x}$ .

$\frac{3 x^{\frac{4}{3}} e^{x} + 4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 e^{x} x^{\frac{4}{3}} + 4 e^{x} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.4.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $3 e^{x} x^{\frac{4}{3}} + 4 e^{x} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.4.1.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $3 e^{x} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}}) + 4 e^{x} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.1.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $4 e^{x} x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}}) + e^{x} (4 x^{\frac{1}{3}}) - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.1.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}}) + e^{x} (4 x^{\frac{1}{3}}) + e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.1.4

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}}) + e^{x} (4 x^{\frac{1}{3}})$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}}) + e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.1.5

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}}) + e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{x} (4 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.3

Pour écrire $4 x^{\frac{1}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.4

Associez $4 x^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) - 2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.4.6.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.4.6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})) - 2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})) + 2 (- 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.6.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})) + 2 (- 1)$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.6.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.6.3

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $x^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.4.6.3.1

Déplacez $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.6.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.6.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 x^{\frac{2 + 1}{3}} - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.6.3.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 x^{\frac{3}{3}} - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.6.3.5

Divisez $3$ par $3$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 x^{1} - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.6.4

Simplifiez $2 \cdot 3 x^{1}$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.6.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.7

Pour écrire $3 x^{\frac{4}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.8

Associez $3 x^{\frac{4}{3}}$ et $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{e^{x} (\frac{3 x^{\frac{4}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{x} \frac{3 x^{\frac{4}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.10

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.4.10.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{e^{x} \frac{3 \cdot 3 x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.10.2

Multipliez $x^{\frac{4}{3}}$ par $x^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.4.10.2.1

Déplacez $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{e^{x} \frac{3 \cdot 3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}}) + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{x} \frac{3 \cdot 3 x^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}} + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.10.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{x} \frac{3 \cdot 3 x^{\frac{2 + 4}{3}} + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.10.2.4

Additionnez $2$ et $4$ .

$\frac{e^{x} \frac{3 \cdot 3 x^{\frac{6}{3}} + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.10.2.5

Divisez $6$ par $3$ .

$\frac{e^{x} \frac{3 \cdot 3 x^{2} + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.10.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{e^{x} \frac{9 x^{2} + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.10.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x} \frac{9 x^{2} + 2 (6 x) + 2 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.10.5

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{e^{x} \frac{9 x^{2} + 12 x + 2 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.4.10.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{e^{x} \frac{9 x^{2} + 12 x - 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.5

Associez $e^{x}$ et $\frac{9 x^{2} + 12 x - 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2.4.7

Associez.

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) \cdot 1}{3 x^{\frac{2}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})}$

Étape 1.2.4.8

Multipliez $x^{\frac{2}{3}}$ par $x^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.8.1

Déplacez $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) \cdot 1}{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) \cdot 3}$

Étape 1.2.4.8.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) \cdot 1}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}} \cdot 3}$

Étape 1.2.4.8.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) \cdot 1}{3 x^{\frac{2 + 2}{3}} \cdot 3}$

Étape 1.2.4.8.4

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) \cdot 1}{3 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3}$

Étape 1.2.4.9

Multipliez $e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)$ par $1$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{3 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3}$

Étape 1.2.4.10

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{9 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$9 x^{2} + 12 x - 2 = 0$

Étape 2.3.2

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 2.3.2.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 2.3.2.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.3.2.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.3.3

Définissez $9 x^{2} + 12 x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Définissez $9 x^{2} + 12 x - 2$ égal à $0$ .

$9 x^{2} + 12 x - 2 = 0$

Étape 2.3.3.2

Résolvez $9 x^{2} + 12 x - 2 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.3.3.2.2

Remplacez les valeurs $a = 9$ , $b = 12$ et $c = - 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (9 \cdot - 2)}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.3.3.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.3.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.3.3.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 9 \cdot - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.3.3.2.3.1.2.2

Multipliez $- 36$ par $- 2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 72}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.3.3.2.3.1.3

Additionnez $144$ et $72$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{216}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.3.3.2.3.1.4

Réécrivez $216$ comme $6^{2} \cdot 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.3.1.4.1

Factorisez $36$ à partir de $216$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{36 (6)}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.3.3.2.3.1.4.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.3.3.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.3.3.2.3.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{18}$

Étape 2.3.3.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{18}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{6}}{3}$

Étape 2.3.3.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.4.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.3.3.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 9 \cdot - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.3.3.2.4.1.2.2

Multipliez $- 36$ par $- 2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 72}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.3.3.2.4.1.3

Additionnez $144$ et $72$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{216}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.3.3.2.4.1.4

Réécrivez $216$ comme $6^{2} \cdot 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.4.1.4.1

Factorisez $36$ à partir de $216$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{36 (6)}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.3.3.2.4.1.4.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.3.3.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.3.3.2.4.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{18}$

Étape 2.3.3.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{18}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{6}}{3}$

Étape 2.3.3.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 2 + \sqrt{6}}{3}$

Étape 2.3.3.2.4.5

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{6}}{3}$

Étape 2.3.3.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{6})}{3}$

Étape 2.3.3.2.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (2 - \sqrt{6})}{3}$

Étape 2.3.3.2.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2 - \sqrt{6}}{3}$

Étape 2.3.3.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.5.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.3.3.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 9 \cdot - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.3.3.2.5.1.2.2

Multipliez $- 36$ par $- 2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 72}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.3.3.2.5.1.3

Additionnez $144$ et $72$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{216}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.3.3.2.5.1.4

Réécrivez $216$ comme $6^{2} \cdot 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.5.1.4.1

Factorisez $36$ à partir de $216$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{36 (6)}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.3.3.2.5.1.4.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.3.3.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.3.3.2.5.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{18}$

Étape 2.3.3.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{18}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{6}}{3}$

Étape 2.3.3.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 2 - \sqrt{6}}{3}$

Étape 2.3.3.2.5.5

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{6}}{3}$

Étape 2.3.3.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{6})}{3}$

Étape 2.3.3.2.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2) - (\sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (2 + \sqrt{6})}{3}$

Étape 2.3.3.2.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2 + \sqrt{6}}{3}$

Étape 2.3.3.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{2 - \sqrt{6}}{3}, - \frac{2 + \sqrt{6}}{3}$

Étape 2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) = 0$ vraie.

$x = - \frac{2 - \sqrt{6}}{3}, - \frac{2 + \sqrt{6}}{3}$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez $0.14982991$ dans $f (x) = x^{\frac{2}{3}} e^{x}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0.14982991$ dans l’expression.

$f (0.14982991) = {(0.14982991)}^{\frac{2}{3}} e^{0.14982991}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Élevez $0.14982991$ à la puissance $\frac{2}{3}$ .

$f (0.14982991) = 0.28209735 e^{0.14982991}$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $0.28209735$ par $e^{0.14982991}$ .

$f (0.14982991) = 0.32769463$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $0.32769463$ .

$0.32769463$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $0.14982991$ dans $f (x) = x^{\frac{2}{3}} e^{x}$ est $(0.14982991, 0.32769463)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0.14982991, 0.32769463)$

Étape 3.3

Remplacez $- 1.48316324$ dans $f (x) = x^{\frac{2}{3}} e^{x}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.48316324$ dans l’expression.

$f (- 1.48316324) = {(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}} e^{- 1.48316324}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 1.48316324) = {(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{e^{1.48316324}})$

Étape 3.3.2.2

Associez ${(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}$ et $\frac{1}{e^{1.48316324}}$ .

$f (- 1.48316324) = \frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}}$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $\frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}}$ .

$\frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}}$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $- 1.48316324$ dans $f (x) = x^{\frac{2}{3}} e^{x}$ est $(- 1.48316324, \frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 1.48316324, \frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}})$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(0.14982991, 0.32769463), (- 1.48316324, \frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}})$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 1.48316324) \cup (- 1.48316324, 0.14982991) \cup (0.14982991, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 1.48316324)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.58316324$ dans l’expression.

$f'' (- 1.58316324) = \frac{e^{- 1.58316324} (9 {(- 1.58316324)}^{2} + 12 (- 1.58316324) - 2)}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Placez $e^{- 1.58316324}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1.58316324) = \frac{9 {(- 1.58316324)}^{2} + 12 (- 1.58316324) - 2}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Élevez $- 1.58316324$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1.58316324) = \frac{9 \cdot 2.50640586 + 12 (- 1.58316324) - 2}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $9$ par $2.50640586$ .

$f'' (- 1.58316324) = \frac{22.55765281 + 12 (- 1.58316324) - 2}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

Étape 5.2.2.3

Multipliez $12$ par $- 1.58316324$ .

$f'' (- 1.58316324) = \frac{22.55765281 - 18.99795897 - 2}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

Étape 5.2.2.4

Soustrayez $18.99795897$ de $22.55765281$ .

$f'' (- 1.58316324) = \frac{3.55969384 - 2}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

Étape 5.2.2.5

Soustrayez $2$ de $3.55969384$ .

$f'' (- 1.58316324) = \frac{1.55969384}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $\frac{1.55969384}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$ .

$\frac{1.55969384}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

Étape 5.3

Sur $- 1.58316324$ , la dérivée seconde est $0.01928428$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - 1.48316324)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 1.48316324)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1.48316324, 0.14982991)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.66666666$ dans l’expression.

$f'' (- 0.66666666) = \frac{e^{- 0.66666666} (9 {(- 0.66666666)}^{2} + 12 (- 0.66666666) - 2)}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Placez $e^{- 0.66666666}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.66666666) = \frac{9 {(- 0.66666666)}^{2} + 12 (- 0.66666666) - 2}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Élevez $- 0.66666666$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.66666666) = \frac{9 \cdot 0.\overline{4} + 12 (- 0.66666666) - 2}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $9$ par $0.\overline{4}$ .

$f'' (- 0.66666666) = \frac{4 + 12 (- 0.66666666) - 2}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Étape 6.2.2.3

Multipliez $12$ par $- 0.66666666$ .

$f'' (- 0.66666666) = \frac{4 - 8 - 2}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Étape 6.2.2.4

Soustrayez $8$ de $4$ .

$f'' (- 0.66666666) = \frac{- 4 - 2}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Étape 6.2.2.5

Soustrayez $2$ de $- 4$ .

$f'' (- 0.66666666) = \frac{- 6}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Étape 6.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 0.66666666) = - \frac{6}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $- \frac{6}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$ .

$- \frac{6}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Étape 6.3

Sur $- 0.66666666$ , la dérivée seconde est $- 0.58771588$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- 1.48316324, 0.14982991)$

Diminue sur $(- 1.48316324, 0.14982991)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0.14982991, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.24982991$ dans l’expression.

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} (9 {(0.24982991)}^{2} + 12 (0.24982991) - 2)}{9 {(0.24982991)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Élevez $0.24982991$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} (9 \cdot 0.06241498 + 12 (0.24982991) - 2)}{9 \cdot {0.24982991}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $9$ par $0.06241498$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} (0.56173487 + 12 (0.24982991) - 2)}{9 \cdot {0.24982991}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $12$ par $0.24982991$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} (0.56173487 + 2.99795897 - 2)}{9 \cdot {0.24982991}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 7.2.1.4

Additionnez $0.56173487$ et $2.99795897$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} (3.55969384 - 2)}{9 \cdot {0.24982991}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 7.2.1.5

Soustrayez $2$ de $3.55969384$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} \cdot 1.55969384}{9 \cdot {0.24982991}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez en multipliant les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Élevez $0.24982991$ à la puissance $\frac{4}{3}$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} \cdot 1.55969384}{9 \cdot 0.15734728}$

Étape 7.2.2.2

Multipliez $e^{0.24982991}$ par $1.55969384$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{2.00234594}{9 \cdot 0.15734728}$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.3.1

Multipliez $9$ par $0.15734728$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{2.00234594}{1.41612555}$

Étape 7.2.2.3.2

Divisez $2.00234594$ par $1.41612555$ .

$f'' (0.24982991) = 1.41396073$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $1.41396073$ .

$1.41396073$

Étape 7.3

Sur $0.24982991$ , la dérivée seconde est $1.41396073$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(0.14982991, \infty)$ .

Augmente sur $(0.14982991, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(- 1.48316324, \frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}}), (0.14982991, 0.32769463)$ .

$(- 1.48316324, \frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}}), (0.14982991, 0.32769463)$

Étape 9