Calcul infinitésimal Exemples

$5 \sin (2 x) + 3 > \frac{11}{2}$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sin (2 x)$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 1.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’inégalité.

$5 \sin (2 x) > \frac{11}{2} - 3$

Étape 1.2

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$5 \sin (2 x) > \frac{11}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.3

Associez $- 3$ et $\frac{2}{2}$ .

$5 \sin (2 x) > \frac{11}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 \sin (2 x) > \frac{11 - 3 \cdot 2}{2}$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$5 \sin (2 x) > \frac{11 - 6}{2}$

Étape 1.5.2

Soustrayez $6$ de $11$ .

$5 \sin (2 x) > \frac{5}{2}$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $5 \sin (2 x) > \frac{5}{2}$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $5 \sin (2 x) > \frac{5}{2}$ par $5$ .

$\frac{5 \sin (2 x)}{5} > \frac{\frac{5}{2}}{5}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \sin (2 x)}{5} > \frac{\frac{5}{2}}{5}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $\sin (2 x)$ par $1$ .

$\sin (2 x) > \frac{\frac{5}{2}}{5}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (2 x) > \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (2 x) > \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (2 x) > \frac{1}{2}$

Étape 3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x > \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$2 x > \frac{π}{6}$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $2 x > \frac{π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $2 x > \frac{π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x > \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 5.3.2

Multipliez $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x > \frac{π}{6 \cdot 2}$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$x > \frac{π}{12}$

Étape 6

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 7.1.2

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 7.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 7.1.4

Soustrayez $π$ de $π \cdot 6$ .

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Étape 7.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 7.1.4.2

Soustrayez $π$ de $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Étape 7.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Étape 7.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 7.2.3.2.1

Multipliez $\frac{5 π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Étape 7.2.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Étape 8

Déterminez la période de $\sin (2 x)$ .

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Étape 8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 8.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 9

La période de la fonction $\sin (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$

$\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$

$\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$5 \sin (2 (1)) + 3 > \frac{11}{2}$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $7.54648713$ est supérieur au côté droit $5.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$5 \sin (2 (2)) + 3 > \frac{11}{2}$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $- 0.78401247$ n’est pas supérieur au côté droit $5.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$5 \sin (2 (4)) + 3 > \frac{11}{2}$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $7.94679123$ est supérieur au côté droit $5.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$ Vrai

$\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$ Faux

$\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$ Vrai

$\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$ Vrai

$\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$ Faux

$\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$ Vrai

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{π}{12} + π n < x < \frac{5 π}{12} + π n$ ou $\frac{13 π}{12} + π n < x < \frac{17 π}{12} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(\frac{13 π}{12} + π n, \frac{17 π}{12} + π n) \cup (\frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n)$

Étape 14