Calcul infinitésimal Exemples

$3 x^{2} + 2 x < x^{4}$

Étape 1

Soustrayez $x^{4}$ des deux côtés de l’inégalité.

$3 x^{2} + 2 x - x^{4} < 0$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$3 x^{2} + 2 x - x^{4} = 0$

Étape 3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Factorisez $- x$ à partir de $3 x^{2} + 2 x - x^{4}$ .

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Étape 3.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 3.1.1.1

Déplacez $2 x$ .

$3 x^{2} - x^{4} + 2 x = 0$

Étape 3.1.1.2

Remettez dans l’ordre $3 x^{2}$ et $- x^{4}$ .

$- x^{4} + 3 x^{2} + 2 x = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{4}$ .

$- x \cdot x^{3} + 3 x^{2} + 2 x = 0$

Étape 3.1.3

Factorisez $- x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$- x \cdot x^{3} - x (- 3 x) + 2 x = 0$

Étape 3.1.4

Factorisez $- x$ à partir de $2 x$ .

$- x \cdot x^{3} - x (- 3 x) - x \cdot - 2 = 0$

Étape 3.1.5

Factorisez $- x$ à partir de $- x (x^{3}) - x (- 3 x)$ .

$- x (x^{3} - 3 x) - x \cdot - 2 = 0$

Étape 3.1.6

Factorisez $- x$ à partir de $- x (x^{3} - 3 x) - x (- 2)$ .

$- x (x^{3} - 3 x - 2) = 0$

Étape 3.2

Factorisez $x^{3} - 3 x - 2$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 3.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Étape 3.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2$

Étape 3.2.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 3.2.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

${(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 - 2$

Étape 3.2.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1 - 3 \cdot - 1 - 2$

Étape 3.2.3.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$- 1 + 3 - 2$

Étape 3.2.3.4

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$2 - 2$

Étape 3.2.3.5

Soustrayez $2$ de $2$ .

$0$

Étape 3.2.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 3 x - 2}{x + 1}$

Étape 3.2.5

Divisez $x^{3} - 3 x - 2$ par $x + 1$ .

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Étape 3.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Étape 3.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$

Étape 3.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 3.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 3.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Étape 3.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

Étape 3.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

Étape 3.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Étape 3.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{2} - x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Étape 3.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$

Étape 3.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$

Étape 3.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$

Étape 3.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Étape 3.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x - 2$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Étape 3.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$
										$0$

Étape 3.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - x - 2$

Étape 3.2.6

Écrivez $x^{3} - 3 x - 2$ comme un ensemble de facteurs.

$- x ((x + 1) (x^{2} - x - 2)) = 0$

Étape 3.3

Factorisez.

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Étape 3.3.1

Factorisez $x^{2} - x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $x^{2} - x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.3.1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 3.3.1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- x ((x + 1) ((x - 2) (x + 1))) = 0$

Étape 3.3.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- x ((x + 1) (x - 2) (x + 1)) = 0$

Étape 3.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- x (x + 1) (x - 2) (x + 1) = 0$

Étape 3.4

Associez les exposants.

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Étape 3.4.1

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$- x ((x + 1) (x + 1)) (x - 2) = 0$

Étape 3.4.2

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$- x ((x + 1) (x + 1)) (x - 2) = 0$

Étape 3.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x {(x + 1)}^{1 + 1} (x - 2) = 0$

Étape 3.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- x {(x + 1)}^{2} (x - 2) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 5

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6

Définissez ${(x + 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez ${(x + 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 6.2

Résolvez ${(x + 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Définissez le $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 6.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 7

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 7.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- x {(x + 1)}^{2} (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, - 1, 2$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$3 {(- 4)}^{2} + 2 (- 4) < {(- 4)}^{4}$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $40$ est inférieur au côté droit $256$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 0.5$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $- 0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$3 {(- 0.5)}^{2} + 2 (- 0.5) < {(- 0.5)}^{4}$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $- 0.25$ est inférieur au côté droit $0.0625$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$3 {(1)}^{2} + 2 (1) < {(1)}^{4}$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $5$ n’est pas inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 10.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$3 {(4)}^{2} + 2 (4) < {(4)}^{4}$

Étape 10.4.3

Le côté gauche $56$ est inférieur au côté droit $256$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 1$ ou $- 1 < x < 0$ ou $x > 2$

Étape 12

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (2, \infty)$

Étape 13