Calcul infinitésimal Exemples

${(\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5}))}^{3}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Évaluez $\cos (\frac{3 π}{5})$ .

${(- 0.30901699 + i \sin (\frac{3 π}{5}))}^{3}$

Étape 1.2

Évaluez $\sin (\frac{3 π}{5})$ .

${(- 0.30901699 + i \cdot 0.95105651)}^{3}$

Étape 1.3

Déplacez $0.95105651$ à gauche de $i$ .

${(- 0.30901699 + 0.95105651 i)}^{3}$

Étape 2

Utilisez le théorème du binôme.

${(- 0.30901699)}^{3} + 3 {(- 0.30901699)}^{2} (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Élevez $- 0.30901699$ à la puissance $3$ .

$- 0.02950849 + 3 {(- 0.30901699)}^{2} (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Étape 3.1.2

Élevez $- 0.30901699$ à la puissance $2$ .

$- 0.02950849 + 3 \cdot 0.0954915 (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Étape 3.1.3

Multipliez $3$ par $0.0954915$ .

$- 0.02950849 + 0.2864745 (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Étape 3.1.4

Multipliez $0.95105651$ par $0.2864745$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Étape 3.1.5

Multipliez $3$ par $- 0.30901699$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Étape 3.1.6

Appliquez la règle de produit à $0.95105651 i$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 ({0.95105651}^{2} i^{2}) + {(0.95105651 i)}^{3}$

Étape 3.1.7

Élevez $0.95105651$ à la puissance $2$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 (0.90450849 i^{2}) + {(0.95105651 i)}^{3}$

Étape 3.1.8

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 (0.90450849 \cdot - 1) + {(0.95105651 i)}^{3}$

Étape 3.1.9

Multipliez $- 0.92705098 (0.90450849 \cdot - 1)$ .

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Étape 3.1.9.1

Multipliez $0.90450849$ par $- 1$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 \cdot - 0.90450849 + {(0.95105651 i)}^{3}$

Étape 3.1.9.2

Multipliez $- 0.92705098$ par $- 0.90450849$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + {(0.95105651 i)}^{3}$

Étape 3.1.10

Appliquez la règle de produit à $0.95105651 i$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + {0.95105651}^{3} i^{3}$

Étape 3.1.11

Élevez $0.95105651$ à la puissance $3$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 i^{3}$

Étape 3.1.12

Factorisez $i^{2}$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 (i^{2} \cdot i)$

Étape 3.1.13

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 (- 1 \cdot i)$

Étape 3.1.14

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 (- i)$

Étape 3.1.15

Multipliez $- 1$ par $0.8602387$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 - 0.8602387 i$

Étape 3.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.2.1

Additionnez $- 0.02950849$ et $0.83852549$ .

$0.80901699 + 0.27245344 i - 0.8602387 i$

Étape 3.2.2

Soustrayez $0.8602387 i$ de $0.27245344 i$ .

$0.80901699 - 0.58778525 i$

Étape 4

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 5

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 6

Remplacez les valeurs réelles de $a = 0.80901699$ et $b = - 0.58778525$ .

$| z | = \sqrt{{(- 0.58778525)}^{2} + {0.80901699}^{2}}$

Étape 7

Déterminez $| z |$ .

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Étape 7.1

Élevez $- 0.58778525$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{0.3454915 + {0.80901699}^{2}}$

Étape 7.2

Élevez $0.80901699$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{0.3454915 + 0.65450849}$

Étape 7.3

Additionnez $0.3454915$ et $0.65450849$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Étape 7.4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$| z | = \sqrt{1^{2}}$

Étape 7.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 1$

Étape 8

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- 0.58778525}{0.80901699})$

Étape 9

Comme la tangente inverse de $\frac{- 0.58778525}{0.80901699}$ produit un angle dans le quatrième quadrant, la valeur de l’angle est $- \frac{π}{5}$ .

$θ = - \frac{π}{5}$

Étape 10

Remplacez les valeurs de $θ = - \frac{π}{5}$ et $| z | = 1$ .

$1 (\cos (- \frac{π}{5}) + i \sin (- \frac{π}{5}))$