Calcul infinitésimal Exemples

$x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Étape 1

Écrivez $x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ comme une fonction.

$f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{4}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \frac{x}{2} - 5$ .

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Étape 2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2} - 5$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = x (4 u^{3} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2} - 5$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x}{2} - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.3.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.3.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.3.5

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.3.6

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1.3.6.1

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2})) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.3.6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f' (x) = x (\frac{4}{2} \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.3.6.3

Associez $\frac{4}{2}$ et ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = x (\frac{4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.3.6.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.1.3.6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.3.6.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.3.6.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 (1)}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.3.6.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 \cdot 1}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.3.6.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = x (\frac{2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{1}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.3.6.4.2.4

Divisez $2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ par $1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \cdot 1$

Étape 2.1.3.8

Multipliez ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ par $1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Factorisez ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ à partir de $x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

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Étape 2.1.4.1.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $2$ .

$f' (x) = 2 \cdot (x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Étape 2.1.4.1.2

Factorisez ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ à partir de $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Étape 2.1.4.1.3

Factorisez ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ à partir de ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$

Étape 2.1.4.1.4

Factorisez ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ à partir de ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 5)$

Étape 2.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.1.4.2.1

Pour écrire $2 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

Étape 2.1.4.2.2

Associez $2 x$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

Étape 2.1.4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 5)$

Étape 2.1.4.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 5)$

Étape 2.1.4.2.5

Additionnez $4 x$ et $x$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ et $g (x) = \frac{5 x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2} - 5) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Étape 2.2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{5 x}{2} - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Étape 2.2.2.2

Comme $\frac{5}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5 x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Étape 2.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Étape 2.2.2.4

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Étape 2.2.2.5

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} + 0) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Étape 2.2.2.6

Associez les fractions.

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Étape 2.2.2.6.1

Additionnez $\frac{5}{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2}) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Étape 2.2.2.6.2

Associez ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ et $\frac{5}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \cdot 5}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Étape 2.2.2.6.3

Déplacez $5$ à gauche de ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \frac{x}{2} - 5$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Étape 2.2.4

Différenciez.

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Étape 2.2.4.1

Déplacez $3$ à gauche de $\frac{5 x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 \cdot ((\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)$

Étape 2.2.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x}{2} - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5))$

Étape 2.2.4.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))$

Étape 2.2.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5))$

Étape 2.2.4.5

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 5))$

Étape 2.2.4.6

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Étape 2.2.4.7

Associez les fractions.

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Étape 2.2.4.7.1

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2})$

Étape 2.2.4.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3}{2} \cdot ((\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})$

Étape 2.2.4.7.3

Associez ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ et $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} \cdot 3}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)$

Étape 2.2.4.7.4

Déplacez $3$ à gauche de ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3 \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)$

Étape 2.2.5

Pour écrire $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.2.6

Associez $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot 2}{2}$

Étape 2.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot 2}{2}$

Étape 2.2.8

Associez $2$ et $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Étape 2.2.9

Multipliez $3$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{6 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Étape 2.2.10

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 2.2.10.1

Factorisez $2$ à partir de $6 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Étape 2.2.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2 (1)} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Étape 2.2.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2 \cdot 1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Étape 2.2.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Étape 2.2.10.2.4

Divisez $3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Étape 2.2.11

Simplifiez

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Étape 2.2.11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.11.1.1

Factorisez ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ à partir de $5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ .

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Étape 2.2.11.1.1.1

Factorisez ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ à partir de $5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Étape 2.2.11.1.1.2

Factorisez ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ à partir de $3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Étape 2.2.11.1.1.3

Factorisez ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ à partir de ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 5))$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5) + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Étape 2.2.11.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2}) + 5 \cdot - 5 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Étape 2.2.11.1.3

Associez $5$ et $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 5 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Étape 2.2.11.1.4

Multipliez $5$ par $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Étape 2.2.11.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + 3 (\frac{5 x}{2}) + 3 \cdot - 5)}{2}$

Étape 2.2.11.1.6

Multipliez $3 \frac{5 x}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.11.1.6.1

Associez $3$ et $\frac{5 x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{3 (5 x)}{2} + 3 \cdot - 5)}{2}$

Étape 2.2.11.1.6.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{15 x}{2} + 3 \cdot - 5)}{2}$

Étape 2.2.11.1.7

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{15 x}{2} - 15)}{2}$

Étape 2.2.11.1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 25 - 15)}{2}$

Étape 2.2.11.1.9

Soustrayez $15$ de $- 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Étape 2.2.11.1.10

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Étape 2.2.11.1.11

Associez $- 5$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Étape 2.2.11.1.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 5 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Étape 2.2.11.1.13

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Étape 2.2.11.1.14

Additionnez $5 x$ et $15 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{20 x}{2} - 40)}{2}$

Étape 2.2.11.1.15

Annulez le facteur commun à $20$ et $2$ .

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Étape 2.2.11.1.15.1

Factorisez $2$ à partir de $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2} - 40)}{2}$

Étape 2.2.11.1.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.11.1.15.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 (1)} - 40)}{2}$

Étape 2.2.11.1.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 \cdot 1} - 40)}{2}$

Étape 2.2.11.1.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{10 x}{1} - 40)}{2}$

Étape 2.2.11.1.15.2.4

Divisez $10 x$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (10 x - 40)}{2}$

Étape 2.2.11.1.16

Appliquez la règle de produit à $\frac{x - 10}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x - 40)}{2}$

Étape 2.2.11.1.17

Factorisez $10$ à partir de $10 x - 40$ .

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Étape 2.2.11.1.17.1

Factorisez $10$ à partir de $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 (x) - 40)}{2}$

Étape 2.2.11.1.17.2

Factorisez $10$ à partir de $- 40$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x + 10 \cdot - 4)}{2}$

Étape 2.2.11.1.17.3

Factorisez $10$ à partir de $10 x + 10 \cdot - 4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 (x - 4))}{2}$

Étape 2.2.11.1.18

Associez $\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}}$ et $10$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 10}{2^{2}} \cdot (x - 4)}{2}$

Étape 2.2.11.1.19

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 10}{4} \cdot (x - 4)}{2}$

Étape 2.2.11.1.20

Annulez le facteur commun à $10$ et $4$ .

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Étape 2.2.11.1.20.1

Factorisez $2$ à partir de ${(x - 10)}^{2} \cdot 10$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{4} \cdot (x - 4)}{2}$

Étape 2.2.11.1.20.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.11.1.20.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{2 (2)} \cdot (x - 4)}{2}$

Étape 2.2.11.1.20.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{2 \cdot 2} \cdot (x - 4)}{2}$

Étape 2.2.11.1.20.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 5}{2} \cdot (x - 4)}{2}$

Étape 2.2.11.1.21

Déplacez $5$ à gauche de ${(x - 10)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot (x - 4)}{2}$

Étape 2.2.11.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2})}{2}$

Étape 2.2.11.3

Factorisez $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}$ à partir de $\frac{(x - 4) \frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot \frac{x - 4}{2}$

Étape 2.2.11.4

Multipliez $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot \frac{x - 4}{2}$ .

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Étape 2.2.11.4.1

Multipliez $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}$ par $\frac{x - 4}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.11.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4}$ .

$\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$5 {(x - 10)}^{2} (x - 4) = 0$

Étape 3.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x - 10)}^{2} = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 3.3.2

Définissez ${(x - 10)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.2.1

Définissez ${(x - 10)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 10)}^{2} = 0$

Étape 3.3.2.2

Résolvez ${(x - 10)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Définissez le $x - 10$ égal à $0$ .

$x - 10 = 0$

Étape 3.3.2.2.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 10$

Étape 3.3.3

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 3.3.3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 3.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $5 {(x - 10)}^{2} (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 10, 4$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $10$ dans $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $10$ dans l’expression.

$f (10) = (10) {(\frac{10}{2} - 5)}^{4}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Divisez $10$ par $2$ .

$f (10) = 10 {(5 - 5)}^{4}$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $5$ de $5$ .

$f (10) = 10 \cdot 0^{4}$

Étape 4.1.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (10) = 10 \cdot 0$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $10$ par $0$ .

$f (10) = 0$

Étape 4.1.2.5

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $10$ dans $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ est $(10, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(10, 0)$

Étape 4.3

Remplacez $4$ dans $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = (4) {(\frac{4}{2} - 5)}^{4}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Divisez $4$ par $2$ .

$f (4) = 4 {(2 - 5)}^{4}$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez $5$ de $2$ .

$f (4) = 4 {(- 3)}^{4}$

Étape 4.3.2.3

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$f (4) = 4 \cdot 81$

Étape 4.3.2.4

Multipliez $4$ par $81$ .

$f (4) = 324$

Étape 4.3.2.5

La réponse finale est $324$ .

$324$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $4$ dans $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ est $(4, 324)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(4, 324)$

Étape 4.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(10, 0), (4, 324)$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, 4) \cup (4, 10) \cup (10, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 4)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $3.9$ dans l’expression.

$f'' (3.9) = \frac{5 {((3.9) - 10)}^{2} ((3.9) - 4)}{4}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

Soustrayez $10$ de $3.9$ .

$f'' (3.9) = \frac{5 {(- 6.1)}^{2} (3.9 - 4)}{4}$

Étape 6.2.1.2

Soustrayez $4$ de $3.9$ .

$f'' (3.9) = \frac{5 {(- 6.1)}^{2} \cdot - 0.1}{4}$

Étape 6.2.1.3

Associez les exposants.

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Étape 6.2.1.3.1

Multipliez $- 0.1$ par $5$ .

$f'' (3.9) = \frac{- 0.5 {(- 6.1)}^{2}}{4}$

Étape 6.2.1.3.2

Multipliez $- 0.5$ par ${(- 6.1)}^{2}$ .

$f'' (3.9) = \frac{- 18.605}{4}$

Étape 6.2.2

Divisez $- 18.605$ par $4$ .

$f'' (3.9) = - 4.65125$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 4.65125$ .

$- 4.65125$

Étape 6.3

Sur $3.9$ , la dérivée seconde est $- 4.65125$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, 4)$

Diminue sur $(- \infty, 4)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(4, 10)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $7$ dans l’expression.

$f'' (7) = \frac{5 {((7) - 10)}^{2} ((7) - 4)}{4}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1.1

Soustrayez $10$ de $7$ .

$f'' (7) = \frac{5 {(- 3)}^{2} (7 - 4)}{4}$

Étape 7.2.1.2

Soustrayez $4$ de $7$ .

$f'' (7) = \frac{5 {(- 3)}^{2} \cdot 3}{4}$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$f'' (7) = \frac{15 {(- 3)}^{2}}{4}$

Étape 7.2.1.4

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f'' (7) = \frac{15 \cdot 9}{4}$

Étape 7.2.2

Multipliez $15$ par $9$ .

$f'' (7) = \frac{135}{4}$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $\frac{135}{4}$ .

$\frac{135}{4}$

Étape 7.3

Sur $7$ , la dérivée seconde est $33.75$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(4, 10)$ .

Augmente sur $(4, 10)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(10, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $10.1$ dans l’expression.

$f'' (10.1) = \frac{5 {((10.1) - 10)}^{2} ((10.1) - 4)}{4}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1.1

Soustrayez $10$ de $10.1$ .

$f'' (10.1) = \frac{5 \cdot ({0.1}^{2} (10.1 - 4))}{4}$

Étape 8.2.1.2

Soustrayez $4$ de $10.1$ .

$f'' (10.1) = \frac{5 \cdot {0.1}^{2} \cdot 6.1}{4}$

Étape 8.2.1.3

Associez les exposants.

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Étape 8.2.1.3.1

Multipliez $6.1$ par $5$ .

$f'' (10.1) = \frac{30.5 \cdot {0.1}^{2}}{4}$

Étape 8.2.1.3.2

Multipliez $30.5$ par ${0.1}^{2}$ .

$f'' (10.1) = \frac{0.305}{4}$

Étape 8.2.2

Divisez $0.305$ par $4$ .

$f'' (10.1) = 0.07625$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $0.07625$ .

$0.07625$

Étape 8.3

Sur $10.1$ , la dérivée seconde est $0.07625$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(10, \infty)$ .

Augmente sur $(10, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 9

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(4, 324)$ .

$(4, 324)$

Étape 10