Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} e^{3 x}$

Étape 1

Écrivez $x^{2} e^{3 x}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{2} e^{3 x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{3 x}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.3.3.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 2.1.3.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 x}$ .

$f' (x) = x^{2} (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 2.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$

Étape 2.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$ .

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x} = 0$

Étape 3.2

Factorisez $x e^{3 x}$ à partir de $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $x e^{3 x}$ à partir de $3 x^{2} e^{3 x}$ .

$x e^{3 x} (3 x) + 2 x e^{3 x} = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez $x e^{3 x}$ à partir de $2 x e^{3 x}$ .

$x e^{3 x} (3 x) + x e^{3 x} (2) = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez $x e^{3 x}$ à partir de $x e^{3 x} (3 x) + x e^{3 x} (2)$ .

$x e^{3 x} (3 x + 2) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$e^{3 x} = 0$

$3 x + 2 = 0$

Étape 3.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.5

Définissez $e^{3 x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $e^{3 x}$ égal à $0$ .

$e^{3 x} = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $e^{3 x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.5.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{3 x}) = \ln (0)$

Étape 3.5.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 3.5.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{3 x} = 0$

Aucune solution

Étape 3.6

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Étape 3.6.2

Résolvez $3 x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.6.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 2$

Étape 3.6.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 3.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 3.6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Étape 3.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x e^{3 x} (3 x + 2) = 0$ vraie.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, - \frac{2}{3}$ .

$0, - \frac{2}{3}$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \frac{2}{3})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.6666667$ dans l’expression.

$f' (- 1.6666667) = 3 {(- 1.6666667)}^{2} e^{3 (- 1.6666667)} + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 1.6666667$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1.6666667) = 3 \cdot (2.777777\overline{8} e^{3 (- 1.6666667)}) + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $3$ par $2.777777\overline{8}$ .

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} e^{3 (- 1.6666667)} + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $3$ par $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} e^{- 5.0000001} + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Étape 6.2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} (\frac{1}{e^{5.0000001}}) + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Étape 6.2.1.5

Associez $8.333333\overline{6}$ et $\frac{1}{e^{5.0000001}}$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{8.333333\overline{6}}{e^{5.0000001}} + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Étape 6.2.1.6

Remplacez $e$ par une approximation.

$f' (- 1.6666667) = \frac{8.333333\overline{6}}{{2.71828182}^{5.0000001}} + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Étape 6.2.1.7

Élevez $2.71828182$ à la puissance $5.0000001$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{8.333333\overline{6}}{148.41317394} + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Étape 6.2.1.8

Divisez $8.333333\overline{6}$ par $148.41317394$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Étape 6.2.1.9

Multipliez $2$ par $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - 3.3333334 \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Étape 6.2.1.10

Multipliez $3$ par $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - 3.3333334 \cdot e^{- 5.0000001}$

Étape 6.2.1.11

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - 3.3333334 \cdot \frac{1}{e^{5.0000001}}$

Étape 6.2.1.12

Associez $- 3.3333334$ et $\frac{1}{e^{5.0000001}}$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 + \frac{- 3.3333334}{e^{5.0000001}}$

Étape 6.2.1.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - \frac{3.3333334}{e^{5.0000001}}$

Étape 6.2.1.14

Remplacez $e$ par une approximation.

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - \frac{3.3333334}{{2.71828182}^{5.0000001}}$

Étape 6.2.1.15

Élevez $2.71828182$ à la puissance $5.0000001$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - \frac{3.3333334}{148.41317394}$

Étape 6.2.1.16

Divisez $3.3333334$ par $148.41317394$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - 1 \cdot 0.02245982$

Étape 6.2.1.17

Multipliez $- 1$ par $0.02245982$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - 0.02245982$

Étape 6.2.2

Soustrayez $0.02245982$ de $0.05614955$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.03368973$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $0.03368973$ .

$0.03368973$

Étape 6.3

Sur $x = - 1.6666667$ la dérivée est $0.03368973$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - \frac{2}{3})$ .

Augmente sur $(- \infty, - \frac{2}{3})$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 0.6666667, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.\overline{3}$ dans l’expression.

$f' (- 0.\overline{3}) = 3 {(- 0.\overline{3})}^{2} e^{3 (- 0.\overline{3})} + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $- 0.\overline{3}$ à la puissance $2$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 3 \cdot (0.11111112 e^{3 (- 0.\overline{3})}) + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $3$ par $0.11111112$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.33333336 e^{3 (- 0.\overline{3})} + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $3$ par $- 0.\overline{3}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.33333336 e^{- 1.00000005} + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Étape 7.2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.33333336 (\frac{1}{e^{1.00000005}}) + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Étape 7.2.1.5

Associez $0.33333336$ et $\frac{1}{e^{1.00000005}}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = \frac{0.33333336}{e^{1.00000005}} + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Étape 7.2.1.6

Remplacez $e$ par une approximation.

$f' (- 0.\overline{3}) = \frac{0.33333336}{{2.71828182}^{1.00000005}} + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Étape 7.2.1.7

Élevez $2.71828182$ à la puissance $1.00000005$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = \frac{0.33333336}{2.71828196} + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Étape 7.2.1.8

Divisez $0.33333336$ par $2.71828196$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Étape 7.2.1.9

Multipliez $2$ par $- 0.\overline{3}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - 0.6666667 \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Étape 7.2.1.10

Multipliez $3$ par $- 0.\overline{3}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - 0.6666667 \cdot e^{- 1.00000005}$

Étape 7.2.1.11

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - 0.6666667 \cdot \frac{1}{e^{1.00000005}}$

Étape 7.2.1.12

Associez $- 0.6666667$ et $\frac{1}{e^{1.00000005}}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 + \frac{- 0.6666667}{e^{1.00000005}}$

Étape 7.2.1.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - \frac{0.6666667}{e^{1.00000005}}$

Étape 7.2.1.14

Remplacez $e$ par une approximation.

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - \frac{0.6666667}{{2.71828182}^{1.00000005}}$

Étape 7.2.1.15

Élevez $2.71828182$ à la puissance $1.00000005$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - \frac{0.6666667}{2.71828196}$

Étape 7.2.1.16

Divisez $0.6666667$ par $2.71828196$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - 1 \cdot 0.24525296$

Étape 7.2.1.17

Multipliez $- 1$ par $0.24525296$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - 0.24525296$

Étape 7.2.2

Soustrayez $0.24525296$ de $0.12262648$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = - 0.12262647$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 0.12262647$ .

$- 0.12262647$

Étape 7.3

Sur $x = - 0.\overline{3}$ la dérivée est $- 0.12262647$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 0.6666667, 0)$ .

Diminue sur $(- \frac{2}{3}, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} e^{3 (1)} + 2 (1) \cdot e^{3 (1)}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 3 \cdot (1 e^{3 (1)}) + 2 (1) \cdot e^{3 (1)}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (1) = 3 e^{3 (1)} + 2 (1) \cdot e^{3 (1)}$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (1) = 3 e^{3} + 2 (1) \cdot e^{3 (1)}$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (1) = 3 e^{3} + 2 \cdot e^{3 (1)}$

Étape 8.2.1.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (1) = 3 e^{3} + 2 e^{3}$

Étape 8.2.2

Additionnez $3 e^{3}$ et $2 e^{3}$ .

$f' (1) = 5 e^{3}$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $5 e^{3}$ .

$5 e^{3}$

Étape 8.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $5 e^{3}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - \frac{2}{3}), (0, \infty)$

Diminue sur : $(- \frac{2}{3}, 0)$

Étape 10