Calcul infinitésimal Exemples

$e^{4 x}$

Étape 1

Écrivez $e^{4 x}$ comme une fonction.

$f (x) = e^{4 x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 2.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 2.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1)$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.3.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4$

Étape 2.1.2.3.2

Déplacez $4$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$f' (x) = 4 e^{4 x}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 e^{4 x} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 e^{4 x} = 0$

Étape 3.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (4 e^{4 x}) = \ln (0)$

Étape 3.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 3.4

Il n’y a pas de solution pour $4 e^{4 x} = 0$

Aucune solution

Étape 4

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 5

Aucun point ne rend la dérivée $f' (x) = 4 e^{4 x}$ égale à $0$ ni indéfinie. L’intervalle pour vérifier si $f (x) = e^{4 x}$ est croissant ou décroissant est $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Étape 6

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(- \infty, \infty)$ dans la dérivée $f' (x) = 4 e^{4 x}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif. Si le résultat est négatif, le graphe est décroissant sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ . Si le résultat est positif, le graphe est croissant sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ .

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 4 e^{4 (1)}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$f' (1) = 4 e^{4}$

Étape 6.2.2

La réponse finale est $4 e^{4}$ .

$4 e^{4}$

Étape 7

Le résultat du remplacement de $1$ dans $f' (x) = 4 e^{4 x}$ est $4 e^{4}$ , qui est positif, si bien que le graphe est croissant sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ .

Augmente sur $(- \infty, \infty)$ depuis $4 e^{4 x} > 0$

Étape 8

Augmente sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ signifie que la fonction est toujours croissante.

Toujours croissant

Étape 9