Calcul infinitésimal Exemples

$- \cos^{2} (x)$

Étape 1

Écrivez $- \cos^{2} (x)$ comme une fonction.

$f (x) = - \cos^{2} (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} \cos^{2} (x)$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$f' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = - (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Étape 2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$f' (x) = - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Étape 2.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = - 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Étape 2.1.4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f' (x) = - 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Étape 2.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 2.1.6

Simplifiez

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Étape 2.1.6.1

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$f' (x) = \sin (x) (2 \cos (x))$

Étape 2.1.6.2

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$f' (x) = 2 \cdot (\sin (x) \cos (x))$

Étape 2.1.6.3

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$f' (x) = \sin (2 x)$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x)$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\sin (2 x) = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

Étape 3.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x = \arcsin (0)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$2 x = 0$

Étape 3.4

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.4.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 3.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$2 x = π - 0$

Étape 3.6

Résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Simplifiez

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Étape 3.6.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 x = π + 0$

Étape 3.6.1.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$2 x = π$

Étape 3.6.2

Divisez chaque terme dans $2 x = π$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.6.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = π$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 3.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 3.6.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 3.7

Déterminez la période de $\sin (2 x)$ .

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Étape 3.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.7.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 3.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 3.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 3.7.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 3.8

La période de la fonction $\sin (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.9

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $\frac{π n}{2}$ .

$\frac{π n}{2}$

Étape 5

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = \sin (2 x)$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = - \cos^{2} (x)$ augmente et diminue est $(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{π n}{2})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π n}{2} - 1$ dans l’expression.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2} - 1))$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Étape 6.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (π n + 2 \cdot - 1)$

Étape 6.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (π n - 2)$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $\sin (π n - 2)$ .

$\sin (π n - 2)$

Étape 6.3

Sur $x = \frac{π n}{2} - 1$ la dérivée est $\sin (π n - 2)$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, \frac{π n}{2})$ .

Diminue sur $(- \infty, \frac{π n}{2})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{π n}{2}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π n}{2} + 1$ dans l’expression.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2} + 1))$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Étape 7.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (π n + 2 \cdot 1)$

Étape 7.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (π n + 2)$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $\sin (π n + 2)$ .

$\sin (π n + 2)$

Étape 7.3

Sur $x = \frac{π n}{2} + 1$ la dérivée est $\sin (π n + 2)$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(\frac{π n}{2}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{π n}{2}, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(\frac{π n}{2}, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, \frac{π n}{2})$

Étape 9