Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$

Étape 1

Écrivez $2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$ comme une fonction.

$f (x) = 2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{3}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{\frac{5}{3}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Étape 2.1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Étape 2.1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Étape 2.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Étape 2.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Étape 2.1.2.6.2

Soustrayez $3$ de $5$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Étape 2.1.2.7

Associez $\frac{5}{3}$ et $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Étape 2.1.2.8

Associez $2$ et $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Étape 2.1.2.9

Multipliez $5$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{\frac{4}{3}}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 \frac{d}{d x} x^{\frac{4}{3}}$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1})$

Étape 2.1.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 2.1.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 2.1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 2.1.3.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}})$

Étape 2.1.3.6.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.1.3.7

Associez $\frac{4}{3}$ et $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 2.1.3.8

Associez $- 5$ et $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 5 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3}$

Étape 2.1.3.9

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 2.1.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

Étape 3.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x = 0, 8$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, 8$ .

$0, 8$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 8) \cup (8, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 6.2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 6.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 6.2.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 6.2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{2} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 6.2.2.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = \frac{10 \cdot 1 - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 6.2.2.5

Multipliez $10$ par $1$ .

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 6.2.2.6

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 6.2.2.7

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

Étape 6.2.2.8

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

Étape 6.2.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 \cdot - 1}{3}$

Étape 6.2.2.9

Évaluez l’exposant.

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 \cdot - 1}{3}$

Étape 6.2.2.10

Multipliez $- 20$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{10 + 20}{3}$

Étape 6.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Additionnez $10$ et $20$ .

$f' (- 1) = \frac{30}{3}$

Étape 6.2.3.2

Divisez $30$ par $3$ .

$f' (- 1) = 10$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $10$ .

$10$

Étape 6.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $10$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, 0)$ .

Augmente sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 8)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = \frac{10 {(4)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(4)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (4) = \frac{10 {(4)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(4)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 7.2.2

Supprimez les parenthèses.

$f' (4) = \frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 7.3

Sur $x = 4$ la dérivée est $\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 8)$ .

Diminue sur $(0, 8)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(8, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $9$ dans l’expression.

$f' (9) = \frac{10 {(9)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(9)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (9) = \frac{10 {(9)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(9)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 8.2.2

Supprimez les parenthèses.

$f' (9) = \frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 8.3

Sur $x = 9$ la dérivée est $\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(8, \infty)$ .

Diminue sur $(8, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, 0)$

Diminue sur : $(0, 8), (8, \infty)$

Étape 10