Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 + e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.1.3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} (e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.1.5

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.5.1

Déplacez $e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x + x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.1.5.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.1.6

Simplifiez

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Étape 2.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{3 e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.1.6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.6.2.1

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.6.2.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{3 e^{x} + e^{x + x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.1.6.2.1.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{3 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.1.6.2.2

Associez les termes opposés dans $3 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}$ .

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Étape 2.1.6.2.2.1

Soustrayez $e^{2 x}$ de $e^{2 x}$ .

$f' (x) = \frac{3 e^{x} + 0}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.1.6.2.2.2

Additionnez $3 e^{x}$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ .

$\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 e^{x} = 0$

Étape 3.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.3.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (3 e^{x}) = \ln (0)$

Étape 3.3.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 3.3.3

Il n’y a pas de solution pour $3 e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 4

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 5

Aucun point ne rend la dérivée $f' (x) = \frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ égale à $0$ ni indéfinie. L’intervalle pour vérifier si $f (x) = \frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$ est croissant ou décroissant est $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Étape 6

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(- \infty, \infty)$ dans la dérivée $f' (x) = \frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif. Si le résultat est négatif, le graphe est décroissant sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ . Si le résultat est positif, le graphe est croissant sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ .

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = \frac{3 e^{1}}{{(3 + e^{1})}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez

$f' (1) = \frac{3 e}{{(3 + e)}^{2}}$

Étape 6.2.2

La réponse finale est $\frac{3 e}{{(3 + e)}^{2}}$ .

$\frac{3 e}{{(3 + e)}^{2}}$

Étape 7

Le résultat du remplacement de $1$ dans $f' (x) = \frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ est $\frac{3 e}{{(3 + e)}^{2}}$ , qui est positif, si bien que le graphe est croissant sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ .

Augmente sur $(- \infty, \infty)$ depuis $\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} > 0$

Étape 8

Augmente sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ signifie que la fonction est toujours croissante.

Toujours croissant

Étape 9