Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2}}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x^{2}}{{(x - 7)}^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = {(x - 7)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{({(x - 7)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 7)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 7)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.2.3

Déplacez $2$ à gauche de ${(x - 7)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ({(x - 7)}^{2} x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 7$ .

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Étape 2.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 7$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 7$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 7) \frac{d}{d x} (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.4

Différenciez.

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Étape 2.1.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) \frac{d}{d x} (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7)))}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) (1 + \frac{d}{d x} (- 7)))}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.4.4

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) (1 + 0))}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.4.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) \cdot 1)}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.4.5.2

Multipliez $x - 7$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 7)}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5

Simplifiez

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Étape 2.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.5.2.1.1

Réécrivez ${(x - 7)}^{2}$ comme $(x - 7) (x - 7)$ .

$f' (x) = \frac{2 ((x - 7) (x - 7)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.2.1.2

Développez $(x - 7) (x - 7)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.5.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 (x (x - 7) - 7 (x - 7)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 7 - 7 (x - 7)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 7 - 7 x - 7 \cdot - 7) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.5.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.5.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + x \cdot - 7 - 7 x - 7 \cdot - 7) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.2.1.3.1.2

Déplacez $- 7$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 7 \cdot x - 7 x - 7 \cdot - 7) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.2.1.3.1.3

Multipliez $- 7$ par $- 7$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 7 x - 7 x + 49) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.2.1.3.2

Soustrayez $7 x$ de $- 7 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 14 x + 49) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 (- 14 x) + 2 \cdot 49) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.2.1.5

Simplifiez

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Étape 2.1.5.2.1.5.1

Multipliez $- 14$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 28 x + 2 \cdot 49) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.2.1.5.2

Multipliez $2$ par $49$ .

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 28 x + 98) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.2.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.2.1.7

Simplifiez

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Étape 2.1.5.2.1.7.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.5.2.1.7.1.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.2.1.7.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.1.5.2.1.7.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.2.1.7.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.2.1.7.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.2.1.7.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.5.2.1.7.2.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 (x \cdot x) + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.2.1.7.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.2.1.8

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.5.2.1.8.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.2.1.8.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.1.5.2.1.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.2.1.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.2.1.8.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.2.1.9

Multipliez $- 7$ par $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{3} + 14 x^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.2.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{3} + 14 x^{2}$ .

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Étape 2.1.5.2.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 28 x^{2} + 98 x + 0 + 14 x^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.2.2.2

Additionnez $- 28 x^{2} + 98 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{- 28 x^{2} + 98 x + 14 x^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.2.3

Additionnez $- 28 x^{2}$ et $14 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 14 x^{2} + 98 x}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.3

Factorisez $14 x$ à partir de $- 14 x^{2} + 98 x$ .

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Étape 2.1.5.3.1

Factorisez $14 x$ à partir de $- 14 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- x) + 98 x}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.3.2

Factorisez $14 x$ à partir de $98 x$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- x) + 14 x (7)}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.3.3

Factorisez $14 x$ à partir de $14 x (- x) + 14 x (7)$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- x + 7)}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.4

Annulez le facteur commun à $- x + 7$ et ${(x - 7)}^{4}$ .

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Étape 2.1.5.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- (x) + 7)}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.4.2

Réécrivez $7$ comme $- 1 (- 7)$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- (x) - 1 \cdot - 7)}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 7)$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.4.4

Réécrivez $- (x - 7)$ comme $- 1 (x - 7)$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- 1 (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.4.5

Factorisez $x - 7$ à partir de $14 x (- 1 (x - 7))$ .

$f' (x) = \frac{(x - 7) (14 x \cdot (- 1))}{{(x - 7)}^{4}}$

Étape 2.1.5.4.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.5.4.6.1

Factorisez $x - 7$ à partir de ${(x - 7)}^{4}$ .

$f' (x) = \frac{(x - 7) (14 x \cdot (- 1))}{(x - 7) {(x - 7)}^{3}}$

Étape 2.1.5.4.6.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{(x - 7) (14 x \cdot (- 1))}{(x - 7) {(x - 7)}^{3}}$

Étape 2.1.5.4.6.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{14 x \cdot (- 1)}{{(x - 7)}^{3}}$

Étape 2.1.5.5

Multipliez $- 1$ par $14$ .

$f' (x) = \frac{- 14 x}{{(x - 7)}^{3}}$

Étape 2.1.5.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}}$ .

$- \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$14 x = 0$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $14 x = 0$ par $14$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $14 x = 0$ par $14$ .

$\frac{14 x}{14} = \frac{0}{14}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $14$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{14 x}{14} = \frac{0}{14}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{14}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Divisez $0$ par $14$ .

$x = 0$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0$ .

$0$

Étape 5

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 7)}^{3} = 0$

Étape 5.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.2.1

Définissez le $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 5.2.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 6

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 7) \cup (7, \infty)$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = - \frac{14 (- 1)}{{((- 1) - 7)}^{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Multipliez $14$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 14}{{(- 1 - 7)}^{3}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $7$ de $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 14}{{(- 8)}^{3}}$

Étape 7.2.2.2

Élevez $- 8$ à la puissance $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 14}{- 512}$

Étape 7.2.3

Annulez le facteur commun à $- 14$ et $- 512$ .

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Étape 7.2.3.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 14$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 \cdot 7}{- 512}$

Étape 7.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 512$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 \cdot 7}{- 2 \cdot 256}$

Étape 7.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (- 1) = - \frac{- 2 \cdot 7}{- 2 \cdot 256}$

Étape 7.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (- 1) = - \frac{7}{256}$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $- \frac{7}{256}$ .

$- \frac{7}{256}$

Étape 7.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $- \frac{7}{256}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 0)$ .

Diminue sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 7)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{7}{2}$ dans l’expression.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{14 (\frac{7}{2})}{{((\frac{7}{2}) - 7)}^{3}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Associez $14$ et $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7}{2} - 7)}^{3}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.1

Pour écrire $- 7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7}{2} - 7 \cdot \frac{2}{2})}^{3}}$

Étape 8.2.2.2

Associez $- 7$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7}{2} + \frac{- 7 \cdot 2}{2})}^{3}}$

Étape 8.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7 - 7 \cdot 2}{2})}^{3}}$

Étape 8.2.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.2.4.1

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7 - 14}{2})}^{3}}$

Étape 8.2.2.4.2

Soustrayez $14$ de $7$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{- 7}{2})}^{3}}$

Étape 8.2.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(- \frac{7}{2})}^{3}}$

Étape 8.2.2.6

Appliquez la règle de produit à $- \frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(- 1)}^{3} {(\frac{7}{2})}^{3}}$

Étape 8.2.2.7

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{- {(\frac{7}{2})}^{3}}$

Étape 8.2.2.8

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{- \frac{7^{3}}{2^{3}}}$

Étape 8.2.2.9

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{- \frac{343}{2^{3}}}$

Étape 8.2.2.10

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{- \frac{343}{8}}$

Étape 8.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.3.1

Multipliez $14$ par $7$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{98}{2}}{- \frac{343}{8}}$

Étape 8.2.3.2

Divisez $98$ par $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{- \frac{343}{8}}$

Étape 8.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (\frac{7}{2}) = - (49 (- \frac{8}{343}))$

Étape 8.2.5

Annulez le facteur commun de $49$ .

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Étape 8.2.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{8}{343}$ dans le numérateur.

$f' (\frac{7}{2}) = - (49 (\frac{- 8}{343}))$

Étape 8.2.5.2

Factorisez $49$ à partir de $343$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - (49 (\frac{- 8}{49 (7)}))$

Étape 8.2.5.3

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{7}{2}) = - (49 (\frac{- 8}{49 \cdot 7}))$

Étape 8.2.5.4

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 8}{7}$

Étape 8.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{8}{7}$

Étape 8.2.7

La réponse finale est $\frac{8}{7}$ .

$\frac{8}{7}$

Étape 8.3

Sur $x = \frac{7}{2}$ la dérivée est $\frac{8}{7}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, 7)$ .

Augmente sur $(0, 7)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(7, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f' (8) = - \frac{14 (8)}{{((8) - 7)}^{3}}$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Multipliez $14$ par $8$ .

$f' (8) = - \frac{112}{{(8 - 7)}^{3}}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.2.1

Soustrayez $7$ de $8$ .

$f' (8) = - \frac{112}{1^{3}}$

Étape 9.2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (8) = - \frac{112}{1}$

Étape 9.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.2.3.1

Divisez $112$ par $1$ .

$f' (8) = - 1 \cdot 112$

Étape 9.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $112$ .

$f' (8) = - 112$

Étape 9.2.4

La réponse finale est $- 112$ .

$- 112$

Étape 9.3

Sur $x = 8$ la dérivée est $- 112$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(7, \infty)$ .

Diminue sur $(7, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 10

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(0, 7)$

Diminue sur : $(- \infty, 0), (7, \infty)$

Étape 11