Calcul infinitésimal Exemples

$8 x - y^{2} = 23 y$ ; $(3, 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 3$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (8 x - y^{2}) = \frac{d}{d x} (23 y)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x - y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$8 - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$8 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$8 - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$8 - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$8 - (2 y y')$

Étape 1.2.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$8 - 2 y y'$

Étape 1.2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 y y' + 8$

Étape 1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.1

Comme $23$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $23 y$ par rapport à $x$ est $23 \frac{d}{d x} [y]$ .

$23 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$23 y'$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 2 y y' + 8 = 23 y'$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Soustrayez $23 y'$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 y y' + 8 - 23 y' = 0$

Étape 1.5.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 y y' - 23 y' = - 8$

Étape 1.5.3

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 y y' - 23 y'$ .

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Étape 1.5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 y y'$ .

$y' (- 2 y) - 23 y' = - 8$

Étape 1.5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 23 y'$ .

$y' (- 2 y) + y' \cdot - 23 = - 8$

Étape 1.5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 2 y) + y' \cdot - 23$ .

$y' (- 2 y - 23) = - 8$

Étape 1.5.4

Divisez chaque terme dans $y' (- 2 y - 23) = - 8$ par $- 2 y - 23$ et simplifiez.

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Étape 1.5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (- 2 y - 23) = - 8$ par $- 2 y - 23$ .

$\frac{y' (- 2 y - 23)}{- 2 y - 23} = \frac{- 8}{- 2 y - 23}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2 y - 23$ .

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Étape 1.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- 2 y - 23)}{- 2 y - 23} = \frac{- 8}{- 2 y - 23}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 8}{- 2 y - 23}$

Étape 1.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{8}{- 2 y - 23}$

Étape 1.5.4.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 y$ .

$y' = - \frac{8}{- (2 y) - 23}$

Étape 1.5.4.3.3

Réécrivez $- 23$ comme $- 1 (23)$ .

$y' = - \frac{8}{- (2 y) - 1 (23)}$

Étape 1.5.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 y) - 1 (23)$ .

$y' = - \frac{8}{- (2 y + 23)}$

Étape 1.5.4.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.5.4.3.5.1

Réécrivez $- (2 y + 23)$ comme $- 1 (2 y + 23)$ .

$y' = - \frac{8}{- 1 (2 y + 23)}$

Étape 1.5.4.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - - \frac{8}{2 y + 23}$

Étape 1.5.4.3.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y' = 1 \frac{8}{2 y + 23}$

Étape 1.5.4.3.5.4

Multipliez $\frac{8}{2 y + 23}$ par $1$ .

$y' = \frac{8}{2 y + 23}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{2 y + 23}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 3$ sur $y = 1$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$\frac{8}{2 y + 23}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $1$ dans l’expression.

$\frac{8}{2 (1) + 23}$

Étape 1.7.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{8}{2 + 23}$

Étape 1.7.3.2

Additionnez $2$ et $23$ .

$\frac{8}{25}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{8}{25}$ et un point donné, tel que $(3, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = \frac{8}{25} \cdot (x - (3))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = \frac{8}{25} \cdot (x - 3)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{8}{25} \cdot (x - 3)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{8}{25} \cdot (x - 3)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 = \frac{8}{25} \cdot (x - 3)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = \frac{8}{25} x + \frac{8}{25} \cdot - 3$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{8}{25}$ et $x$ .

$y - 1 = \frac{8 x}{25} + \frac{8}{25} \cdot - 3$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $\frac{8}{25} \cdot - 3$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Associez $\frac{8}{25}$ et $- 3$ .

$y - 1 = \frac{8 x}{25} + \frac{8 \cdot - 3}{25}$

Étape 2.3.1.5.2

Multipliez $8$ par $- 3$ .

$y - 1 = \frac{8 x}{25} + \frac{- 24}{25}$

Étape 2.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 1 = \frac{8 x}{25} - \frac{24}{25}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{8 x}{25} - \frac{24}{25} + 1$

Étape 2.3.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = \frac{8 x}{25} - \frac{24}{25} + \frac{25}{25}$

Étape 2.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{8 x}{25} + \frac{- 24 + 25}{25}$

Étape 2.3.2.4

Additionnez $- 24$ et $25$ .

$y = \frac{8 x}{25} + \frac{1}{25}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{8}{25} x + \frac{1}{25}$

Étape 3