Calcul infinitésimal Exemples

$x + e^{- 4 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + e^{- 4 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 4 x$ .

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Étape 1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 4 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$1 + e^{u} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 4 x$ .

$1 + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 1.2.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \cdot 1)$

Étape 1.2.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$1 + e^{- 4 x} \cdot - 4$

Étape 1.2.5

Déplacez $- 4$ à gauche de $e^{- 4 x}$ .

$1 - 4 e^{- 4 x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 4 e^{- 4 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 4 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 4 e^{- 4 x})$

Étape 2.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 4 e^{- 4 x})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 e^{- 4 x}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 e^{- 4 x}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \frac{d}{d x} e^{- 4 x}$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 4 x$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 4 x$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 4 x))$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (e^{u} \frac{d}{d x} (- 4 x))$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 4 x$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (e^{- 4 x} \frac{d}{d x} (- 4 x))$

Étape 2.2.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} x))$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (e^{- 4 x} (- 4 \cdot 1))$

Étape 2.2.5

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (e^{- 4 x} \cdot - 4)$

Étape 2.2.6

Déplacez $- 4$ à gauche de $e^{- 4 x}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- 4 \cdot e^{- 4 x})$

Étape 2.2.7

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$f'' (x) = 0 + 16 e^{- 4 x}$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $16 e^{- 4 x}$ .

$f'' (x) = 16 e^{- 4 x}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$1 - 4 e^{- 4 x} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + e^{- 4 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 4 x$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 4 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 4.1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$1 + e^{u} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 4.1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 4 x$ .

$1 + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 4.1.2.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \cdot 1)$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$1 + e^{- 4 x} \cdot - 4$

Étape 4.1.2.5

Déplacez $- 4$ à gauche de $e^{- 4 x}$ .

$f' (x) = 1 - 4 e^{- 4 x}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $1 - 4 e^{- 4 x}$ .

$1 - 4 e^{- 4 x}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $1 - 4 e^{- 4 x} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$1 - 4 e^{- 4 x} = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 e^{- 4 x} = - 1$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- 4 e^{- 4 x} = - 1$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 4 e^{- 4 x} = - 1$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $e^{- 4 x}$ par $1$ .

$e^{- 4 x} = \frac{- 1}{- 4}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$e^{- 4 x} = \frac{1}{4}$

Étape 5.4

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- 4 x}) = \ln (\frac{1}{4})$

Étape 5.5

Développez le côté gauche.

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Étape 5.5.1

Développez $\ln (e^{- 4 x})$ en déplaçant $- 4 x$ hors du logarithme.

$- 4 x \ln (e) = \ln (\frac{1}{4})$

Étape 5.5.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$- 4 x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{4})$

Étape 5.5.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$

Étape 5.6

Divisez chaque terme dans $- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 5.6.1

Divisez chaque terme dans $- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Étape 5.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 5.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Étape 5.6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Étape 5.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$16 e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 9.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ dans le numérateur.

$16 e^{- 4 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Étape 9.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$16 e^{4 (- 1) \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Étape 9.1.3

Annulez le facteur commun.

$16 e^{4 \cdot - 1 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Étape 9.1.4

Réécrivez l’expression.

$16 e^{- 1 (- \ln (\frac{1}{4}))}$

Étape 9.2

Multipliez.

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Étape 9.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$16 e^{1 \ln (\frac{1}{4})}$

Étape 9.2.2

Multipliez $\ln (\frac{1}{4})$ par $1$ .

$16 e^{\ln (\frac{1}{4})}$

Étape 9.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$16 (\frac{1}{4})$

Étape 9.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 9.4.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$4 (4) \frac{1}{4}$

Étape 9.4.2

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot 4 \frac{1}{4}$

Étape 9.4.3

Réécrivez l’expression.

$4$

Étape 10

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ .

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Étape 11.1

Simplify $- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ to substitute in $f (x) = x + e^{- 4 x}$ .

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Étape 11.1.1

Réécrivez $\frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ comme $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ .

$y = - (\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{1}{4}))$

Étape 11.1.2

Simplifiez $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ en déplaçant $\frac{1}{4}$ dans le logarithme.

$y = - \ln ({(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{4}})$

Étape 11.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$y = - \ln (\frac{1^{\frac{1}{4}}}{4^{\frac{1}{4}}})$

Étape 11.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})$

Étape 11.2

Remplacez la variable $x$ par $- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})$ dans l’expression.

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) + e^{- 4 (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}))}$

Étape 11.3

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.3.1.1

Multipliez $- 4 (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}))$ .

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Étape 11.3.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{4 \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})}$

Étape 11.3.1.1.2

Simplifiez $4 \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{\ln ({(\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})}^{4})}$

Étape 11.3.1.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + {(\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})}^{4}$

Étape 11.3.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}$ .

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1^{4}}{{(4^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Étape 11.3.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{{(4^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Étape 11.3.1.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.3.1.5.1

Multipliez les exposants dans ${(4^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 11.3.1.5.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Étape 11.3.1.5.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 11.3.1.5.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Étape 11.3.1.5.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}$

Étape 11.3.1.5.2

Évaluez l’exposant.

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}$

Étape 11.3.2

La réponse finale est $- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}$ .

$y = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x + e^{- 4 x}$ .

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}, - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4})$ est un minimum local

Étape 13