Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2 e^{x}}{3 e^{x} - 4}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{2 e^{x}}{3 e^{x} - 4}$ est indéfinie.

$x = \ln (\frac{4}{3})$

Étape 2

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{3 e^{x} - 4}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 2.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 e^{x} - 4}$

Étape 2.2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 3 e^{x} - 4}$

Étape 2.2.1.2

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 e^{x} - 4}$

Étape 2.2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.2.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 e^{x} - lim_{x \to \infty} 4}$

Étape 2.2.1.3.2

Comme la fonction $e^{x}$ approche de $\infty$ , la constante positive $3$ fois la fraction approche également de $\infty$ .

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Étape 2.2.1.3.2.1

Étudiez la limite avec le multiple constant $3$ retiré.

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} - lim_{x \to \infty} 4}$

Étape 2.2.1.3.2.2

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{\infty - lim_{x \to \infty} 4}$

Étape 2.2.1.3.3

Évaluez la limite.

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Étape 2.2.1.3.3.1

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{\infty - 1 \cdot 4}$

Étape 2.2.1.3.3.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.1.3.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$2 \frac{\infty}{\infty - 4}$

Étape 2.2.1.3.3.2.2

L’infini plus ou moins un nombre est l’infini.

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Étape 2.2.1.3.3.2.3

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Étape 2.2.1.3.3.3

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Étape 2.2.1.3.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Étape 2.2.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Étape 2.2.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 e^{x} - 4} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [3 e^{x} - 4]}$

Étape 2.2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [3 e^{x} - 4]}$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{x} - 4]}$

Étape 2.2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 e^{x} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 2.2.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

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Étape 2.2.3.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 2.2.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 2.2.3.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 e^{x} + 0}$

Étape 2.2.3.6

Additionnez $3 e^{x}$ et $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 e^{x}}$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 e^{x}}$

Étape 2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{3}$

Étape 2.3

Évaluez la limite.

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Étape 2.3.1

Évaluez la limite de $\frac{1}{3}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$2 (\frac{1}{3})$

Étape 2.3.2

Associez $2$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to - \infty} \frac{2 e^{x}}{3 e^{x} - 4}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{e^{x}}{3 e^{x} - 4}$

Étape 3.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} e^{x}}{lim_{x \to - \infty} 3 e^{x} - 4}$

Étape 3.2

Comme l’exposant $x$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} 3 e^{x} - 4}$

Étape 3.3

Évaluez la limite.

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Étape 3.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} 3 e^{x} - lim_{x \to - \infty} 4}$

Étape 3.3.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 \frac{0}{3 lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} 4}$

Étape 3.4

Comme l’exposant $x$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $0$ .

$2 \frac{0}{3 \cdot 0 - lim_{x \to - \infty} 4}$

Étape 3.5

Évaluez la limite.

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Étape 3.5.1

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$2 \frac{0}{3 \cdot 0 - 1 \cdot 4}$

Étape 3.5.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $3 \cdot 0 - 1 \cdot 4$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $3 \cdot 0$ .

$2 \frac{0}{- (- 3 \cdot 0) - 1 \cdot 4}$

Étape 3.5.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 \cdot 4$ .

$2 \frac{0}{- (- 3 \cdot 0) - 1 (4)}$

Étape 3.5.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 3 \cdot 0) - 1 (4)$ .

$2 \frac{0}{- (- 3 \cdot 0 + 4)}$

Étape 3.5.2.1.4

Réécrivez $- (- 3 \cdot 0 + 4)$ comme $- 1 (- 3 \cdot 0 + 4)$ .

$2 \frac{0}{- 1 (- 3 \cdot 0 + 4)}$

Étape 3.5.2.1.5

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$2 \frac{4 (0)}{- 1 (- 3 \cdot 0 + 4)}$

Étape 3.5.2.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 1 (- 3 \cdot 0 + 4)$ .

$2 \frac{4 (0)}{4 (- 1 (- 3 \cdot 0 + 1))}$

Étape 3.5.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{4 \cdot 0}{4 (- 1 (- 3 \cdot 0 + 1))}$

Étape 3.5.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{0}{- 1 (- 3 \cdot 0 + 1)}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.2.2.1

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$2 \frac{0}{- 1 (0 + 1)}$

Étape 3.5.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$2 \frac{0}{- 1 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 (\frac{0}{- 1})$

Étape 3.5.2.4

Divisez $0$ par $- 1$ .

$2 \cdot 0$

Étape 3.5.2.5

Multipliez $2$ par $0$ .

$0$

Étape 4

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = \frac{2}{3}, 0$

Étape 5

Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Aucune asymptote oblique

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = \ln (\frac{4}{3})$

Asymptotes horizontales : $y = \frac{2}{3}, 0$

Aucune asymptote oblique

Étape 7