Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 9 x^{3} + \frac{1}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{3} + \frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{3}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $9$ .

$27 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Étape 1.3.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$27 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$27 x^{2} - x^{- 2}$

Étape 1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 27 x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $27 x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [27 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $27 x^{2}$ par rapport à $x$ est $27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$27 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$27 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $27$ .

$54 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$54 x - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$54 x - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$54 x - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$54 x - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$54 x - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$54 x - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$54 x - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.3.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.3.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$54 x - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$54 x - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.3.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$54 x - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.3.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$54 x - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.3.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$54 x - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.3.10

Soustrayez $4$ de $1$ .

$54 x - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.3.11

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$54 x + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.3.12

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $0$ .

$54 x + 2 x^{- 3} + 0$

Étape 2.3.13

Additionnez $2 x^{- 3}$ et $0$ .

$54 x + 2 x^{- 3}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$54 x + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 2.4.2

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 54 x + \frac{2}{x^{3}}$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $54 x + \frac{2}{x^{3}}$ .

$54 x + \frac{2}{x^{3}}$