Calcul infinitésimal Exemples

$y = 6 x - 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}$ ; $x = 1$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x - 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Étape 2.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$ .

$6 - 12 \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 4 x^{2} - 3$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x^{2} - 3$ .

$6 - 12 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 - 12 (2 u \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x^{2} - 3$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Étape 3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Étape 3.6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (4 (2 x) + 0))$

Étape 3.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (8 x + 0))$

Étape 3.8

Additionnez $8 x$ et $0$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (8 x))$

Étape 3.9

Multipliez $8$ par $2$ .

$6 - 12 (16 (4 x^{2} - 3) x)$

Étape 3.10

Multipliez $16$ par $- 12$ .

$6 - 192 (4 x^{2} - 3) x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 + (- 192 (4 x^{2}) - 192 \cdot - 3) x$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$6 - 192 (4 x^{2}) x - 192 \cdot - 3 x$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Multipliez $4$ par $- 192$ .

$6 - 768 x^{2} x - 192 \cdot - 3 x$

Étape 4.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 - 768 (x^{1} x^{2}) - 192 \cdot - 3 x$

Étape 4.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 - 768 x^{1 + 2} - 192 \cdot - 3 x$

Étape 4.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$6 - 768 x^{3} - 192 \cdot - 3 x$

Étape 4.3.5

Multipliez $- 192$ par $- 3$ .

$6 - 768 x^{3} + 576 x$

Étape 4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 768 x^{3} + 576 x + 6$

Étape 5

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$- 768 {(1)}^{3} + 576 (1) + 6$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 768 \cdot 1 + 576 (1) + 6$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 768$ par $1$ .

$- 768 + 576 (1) + 6$

Étape 6.1.3

Multipliez $576$ par $1$ .

$- 768 + 576 + 6$

Étape 6.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 6.2.1

Additionnez $- 768$ et $576$ .

$- 192 + 6$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 192$ et $6$ .

$- 186$