Calcul infinitésimal Exemples

$f'' (x) = - 2 + 30 x - 12 x^{2}$

Étape 1

La fonction $f' (x)$ peut être trouvée en évaluant l’intégrale infinie de la dérivée $f'' (x)$ .

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - 2 d x + \int 30 x d x + \int - 12 x^{2} d x$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$- 2 x + C + \int 30 x d x + \int - 12 x^{2} d x$

Étape 4

Comme $30$ est constant par rapport à $x$ , placez $30$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 x + C + 30 \int x d x + \int - 12 x^{2} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 x + C + 30 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 12 x^{2} d x$

Étape 6

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 12$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 x + C + 30 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 12 \int x^{2} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 x + C + 30 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Simplifiez

$- 2 x + 15 x^{2} - 12 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Étape 8.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$- 2 x + 15 x^{2} - 12 \frac{x^{3}}{3} + C$

Étape 8.2.2

Associez $- 12$ et $\frac{x^{3}}{3}$ .

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{- 12 x^{3}}{3} + C$

Étape 8.2.3

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 12 x^{3}$ .

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{3 (- 4 x^{3})}{3} + C$

Étape 8.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{3 (- 4 x^{3})}{3 (1)} + C$

Étape 8.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{3 (- 4 x^{3})}{3 \cdot 1} + C$

Étape 8.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{- 4 x^{3}}{1} + C$

Étape 8.2.3.2.4

Divisez $- 4 x^{3}$ par $1$ .

$- 2 x + 15 x^{2} - 4 x^{3} + C$

Étape 9

La fonction $f'$ si elle est dérivée de l’intégrale de la dérivée de la fonction. Cela est valide selon le théorème fondamental de l’analyse.

$f' (x) = - 2 x + 15 x^{2} - 4 x^{3} + C$

Étape 10

La fonction $f (x)$ peut être trouvée en évaluant l’intégrale infinie de la dérivée $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Étape 11

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - 2 x d x + \int 15 x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

Étape 12

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 \int x d x + \int 15 x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

Étape 13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 15 x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

Étape 14

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , placez $15$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 \int x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

Étape 15

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

Étape 16

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 \int x^{3} d x + \int C d x$

Étape 17

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int C d x$

Étape 18

Appliquez la règle de la constante.

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + C x + C$

Étape 19

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + C x + C$

Étape 19.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 15 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + C x + C$

Étape 19.1.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 15 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) + C x + C$

Étape 19.2

Simplifiez

$- x^{2} + 5 x^{3} - x^{4} + C x + C$

Étape 20

La fonction $f$ si elle est dérivée de l’intégrale de la dérivée de la fonction. Cela est valide selon le théorème fondamental de l’analyse.

$f (x) = - x^{2} + 5 x^{3} - x^{4} + C x + C$