Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{9} x^{2}$ , $x = 5$ , $y = 0$

Étape 1

Pour déterminer le volume du solide, commencez par définir l’aire de chaque coupe, puis intégrez sur la plage. L’aire de chaque coupe est l’aire d’un cercle avec un rayon de $f (x)$ et $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{5} {(f (x))}^{2} d x$ où $f (x) = \frac{x^{2}}{9}$

Étape 2

Simplifiez l’intégrande.

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x^{2}}{9}$ .

$V = \frac{{(x^{2})}^{2}}{9^{2}}$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \frac{x^{2 \cdot 2}}{9^{2}}$

Étape 2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$V = \frac{x^{4}}{9^{2}}$

Étape 2.3

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$V = \frac{x^{4}}{81}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{81}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{81}$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (\frac{1}{81} \cdot \int_{0}^{5} x^{4} d x)$

Étape 4

Associez $\frac{1}{81}$ et $π$ .

$V = \frac{π}{81} \cdot \int_{0}^{5} x^{4} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = \frac{π}{81} \cdot \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{5}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{1}{5} x^{5}$ sur $5$ et sur $0$ .

$V = \frac{π}{81} \cdot ((\frac{1}{5} \cdot 5^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$V = \frac{π}{81} \cdot (\frac{1}{5} \cdot 3125 - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

Étape 6.2.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $3125$ .

$V = \frac{π}{81} \cdot (\frac{3125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun à $3125$ et $5$ .

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Étape 6.2.3.1

Factorisez $5$ à partir de $3125$ .

$V = \frac{π}{81} \cdot (\frac{5 \cdot 625}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

Étape 6.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$V = \frac{π}{81} \cdot (\frac{5 \cdot 625}{5 (1)} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

Étape 6.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = \frac{π}{81} \cdot (\frac{5 \cdot 625}{5 \cdot 1} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

Étape 6.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = \frac{π}{81} \cdot (\frac{625}{1} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

Étape 6.2.3.2.4

Divisez $625$ par $1$ .

$V = \frac{π}{81} \cdot (625 - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

Étape 6.2.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$V = \frac{π}{81} \cdot (625 - \frac{1}{5} \cdot 0)$

Étape 6.2.5

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$V = \frac{π}{81} \cdot (625 + 0 (\frac{1}{5}))$

Étape 6.2.6

Multipliez $0$ par $\frac{1}{5}$ .

$V = \frac{π}{81} \cdot (625 + 0)$

Étape 6.2.7

Additionnez $625$ et $0$ .

$V = \frac{π}{81} \cdot 625$

Étape 6.2.8

Associez $\frac{π}{81}$ et $625$ .

$V = \frac{π \cdot 625}{81}$

Étape 6.2.9

Déplacez $625$ à gauche de $π$ .

$V = \frac{625 π}{81}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$V = \frac{625 π}{81}$

Forme décimale :

$V = 24.24068405 \dots$

Étape 8