Calcul infinitésimal Exemples

$x = 2 \sqrt{5 y}$ , $x = 0$ , $y = 5$

Étape 1

Pour déterminer le volume du solide, commencez par définir l’aire de chaque coupe, puis intégrez sur la plage. L’aire de chaque coupe est l’aire d’un cercle avec un rayon de $f (x)$ et $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{10} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ où $f (x) = 5$ et $g (x) = \frac{x^{2}}{20}$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$V = 25 - {(\frac{x^{2}}{20})}^{2}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{x^{2}}{20}$ .

$V = 25 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{20^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 25 - \frac{x^{2 \cdot 2}}{20^{2}}$

Étape 2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$V = 25 - \frac{x^{4}}{20^{2}}$

Étape 2.4

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$V = 25 - \frac{x^{4}}{400}$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$V = π (\int_{0}^{10} 25 d x + \int_{0}^{10} - \frac{x^{4}}{400} d x)$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$V = π (25 x]_{0}^{10} + \int_{0}^{10} - \frac{x^{4}}{400} d x)$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (25 x]_{0}^{10} - \int_{0}^{10} \frac{x^{4}}{400} d x)$

Étape 6

Comme $\frac{1}{400}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{400}$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (25 x]_{0}^{10} - (\frac{1}{400} \cdot \int_{0}^{10} x^{4} d x))$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (25 x]_{0}^{10} - \frac{1}{400} \cdot \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{10})$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$V = π (25 x]_{0}^{10} - \frac{1}{400} \cdot \frac{x^{5}}{5}]_{0}^{10})$

Étape 8.1.2

Associez $\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{10}$ et $\frac{1}{400}$ .

$V = π (25 x]_{0}^{10} - \frac{\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{10}}{400})$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Évaluez $25 x$ sur $10$ et sur $0$ .

$V = π ((25 \cdot 10) - 25 \cdot 0 - \frac{\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{10}}{400})$

Étape 8.2.2

Évaluez $\frac{x^{5}}{5}$ sur $10$ et sur $0$ .

$V = π ((25 \cdot 10) - 25 \cdot 0 - \frac{(\frac{10^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{400})$

Étape 8.2.3

Simplifiez

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Étape 8.2.3.1

Multipliez $25$ par $10$ .

$V = π (250 - 25 \cdot 0 - \frac{(\frac{10^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{400})$

Étape 8.2.3.2

Multipliez $- 25$ par $0$ .

$V = π (250 + 0 - \frac{(\frac{10^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{400})$

Étape 8.2.3.3

Additionnez $250$ et $0$ .

$V = π (250 - \frac{(\frac{10^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{400})$

Étape 8.2.3.4

Élevez $10$ à la puissance $5$ .

$V = π (250 - \frac{\frac{100000}{5} - \frac{0^{5}}{5}}{400})$

Étape 8.2.3.5

Annulez le facteur commun à $100000$ et $5$ .

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Étape 8.2.3.5.1

Factorisez $5$ à partir de $100000$ .

$V = π (250 - \frac{\frac{5 \cdot 20000}{5} - \frac{0^{5}}{5}}{400})$

Étape 8.2.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.5.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$V = π (250 - \frac{\frac{5 \cdot 20000}{5 (1)} - \frac{0^{5}}{5}}{400})$

Étape 8.2.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (250 - \frac{\frac{5 \cdot 20000}{5 \cdot 1} - \frac{0^{5}}{5}}{400})$

Étape 8.2.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (250 - \frac{\frac{20000}{1} - \frac{0^{5}}{5}}{400})$

Étape 8.2.3.5.2.4

Divisez $20000$ par $1$ .

$V = π (250 - \frac{20000 - \frac{0^{5}}{5}}{400})$

Étape 8.2.3.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$V = π (250 - \frac{20000 - \frac{0}{5}}{400})$

Étape 8.2.3.7

Annulez le facteur commun à $0$ et $5$ .

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Étape 8.2.3.7.1

Factorisez $5$ à partir de $0$ .

$V = π (250 - \frac{20000 - \frac{5 (0)}{5}}{400})$

Étape 8.2.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.7.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$V = π (250 - \frac{20000 - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{400})$

Étape 8.2.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (250 - \frac{20000 - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{400})$

Étape 8.2.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (250 - \frac{20000 - \frac{0}{1}}{400})$

Étape 8.2.3.7.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$V = π (250 - \frac{20000 - 0}{400})$

Étape 8.2.3.8

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$V = π (250 - \frac{20000 + 0}{400})$

Étape 8.2.3.9

Additionnez $20000$ et $0$ .

$V = π (250 - \frac{20000}{400})$

Étape 8.2.3.10

Annulez le facteur commun à $20000$ et $400$ .

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Étape 8.2.3.10.1

Factorisez $400$ à partir de $20000$ .

$V = π (250 - \frac{400 \cdot 50}{400})$

Étape 8.2.3.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.10.2.1

Factorisez $400$ à partir de $400$ .

$V = π (250 - \frac{400 \cdot 50}{400 (1)})$

Étape 8.2.3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (250 - \frac{400 \cdot 50}{400 \cdot 1})$

Étape 8.2.3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (250 - \frac{50}{1})$

Étape 8.2.3.10.2.4

Divisez $50$ par $1$ .

$V = π (250 - 1 \cdot 50)$

Étape 8.2.3.11

Multipliez $- 1$ par $50$ .

$V = π (250 - 50)$

Étape 8.2.3.12

Soustrayez $50$ de $250$ .

$V = π \cdot 200$

Étape 8.2.3.13

Déplacez $200$ à gauche de $π$ .

$V = 200 π$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$V = 200 π$

Forme décimale :

$V = 628.31853071 \dots$

Étape 10