Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ ; $[1, e^{3}]$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$\frac{1}{x} - \frac{1}{e} = 0$

Étape 1.2

Résolvez $\frac{1}{x} - \frac{1}{e} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Ajoutez $\frac{1}{e}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$

Étape 1.2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, e + y = 0$

Étape 1.2.2.2

Comme $x, e$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 1$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $x^{1}$ .

Étape 1.2.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

$1$ Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

Étape 1.2.2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.2.2.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1 + y = 0$

Étape 1.2.2.6

Le facteur pour $x^{1}$ est $x$ lui-même.

$x = x$

Étape 1.2.2.7

Le plus petit multiple commun de $x^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x + y = 0$

Étape 1.2.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$ par $x$ .

$\frac{1}{x} x = \frac{1}{e} x$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x} x = \frac{1}{e} x$

Étape 1.2.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{1}{e} x$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Associez $\frac{1}{e}$ et $x$ .

$1 = \frac{x}{e}$

Étape 1.2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{x}{e} = 1$ .

$\frac{x}{e} = 1$

Étape 1.2.4.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $e$ .

$e \frac{x}{e} = e \cdot 1$

Étape 1.2.4.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 1.2.4.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.3.1.1

Annulez le facteur commun de $e$ .

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Étape 1.2.4.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$e \frac{x}{e} = e \cdot 1$

Étape 1.2.4.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = e \cdot 1$

Étape 1.2.4.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.3.2.1

Multipliez $e$ par $1$ .

$x = e$

Étape 1.3

Remplacez $x$ par $e$ .

$y = 0$

Étape 1.4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(e, 0)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x - \int_{1}^{e} 0 d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $1$ et $e$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} - (0) d x$

Étape 3.2

Soustrayez $0$ de $\frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x$

Étape 3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{e} d x$

Étape 3.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{e} d x$

Étape 3.5

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + - \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$

Étape 3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.6.1

Associez $\ln (| x |)]_{1}^{e}$ et $- \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$ .

$\ln (| x |) - \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$

Étape 3.6.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.6.2.1

Évaluez $\ln (| x |) - \frac{1}{e} x$ sur $e$ et sur $1$ .

$(\ln (| e |) - \frac{1}{e} e) - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Étape 3.6.2.2

Simplifiez

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Étape 3.6.2.2.1

Associez $e$ et $\frac{1}{e}$ .

$\ln (| e |) - \frac{e}{e} - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Étape 3.6.2.2.2

Annulez le facteur commun de $e$ .

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Étape 3.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| e |) - \frac{e}{e} - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Étape 3.6.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| e |) - 1 \cdot 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Étape 3.6.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\ln (| e |) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Étape 3.6.2.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\ln (| e |) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

Étape 3.7

Simplifiez

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Étape 3.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.1.1

$e$ est d’environ $2.71828182$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\ln (e) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

Étape 3.7.1.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$1 - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

Étape 3.7.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.1.3.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$1 - 1 - (\ln (1) - \frac{1}{e})$

Étape 3.7.1.3.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$1 - 1 - (0 - \frac{1}{e})$

Étape 3.7.1.4

Soustrayez $\frac{1}{e}$ de $0$ .

$1 - 1 - - \frac{1}{e}$

Étape 3.7.1.5

Multipliez $- - \frac{1}{e}$ .

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Étape 3.7.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 - 1 + 1 \frac{1}{e}$

Étape 3.7.1.5.2

Multipliez $\frac{1}{e}$ par $1$ .

$1 - 1 + \frac{1}{e}$

Étape 3.7.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0 + \frac{1}{e}$

Étape 3.7.3

Additionnez $0$ et $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Étape 4

$A r e a = \int_{e}^{e^{3}} 0 d x - \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x$

Étape 5

Intégrez pour déterminer l’aire entre $e$ et $e^{3}$ .

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Étape 5.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{e}^{e^{3}} 0 - (\frac{1}{x} - \frac{1}{e}) d x$

Étape 5.2

Soustrayez $\frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ de $0$ .

$\int_{e}^{e^{3}} - (\frac{1}{x} - \frac{1}{e}) d x$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{e}^{e^{3}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{e} d x$

Étape 5.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{e}^{e^{3}} - \frac{1}{x} d x + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

Étape 5.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{x} d x + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

Étape 5.6

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |)]_{e}^{e^{3}}) + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

Étape 5.7

Appliquez la règle de la constante.

$- (\ln (| x |)]_{e}^{e^{3}}) + \frac{1}{e} x]_{e}^{e^{3}}$

Étape 5.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.8.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.8.1.1

Évaluez $\ln (| x |)$ sur $e^{3}$ et sur $e$ .

$- ((\ln (| e^{3} |)) - \ln (| e |)) + \frac{1}{e} x]_{e}^{e^{3}}$

Étape 5.8.1.2

Évaluez $\frac{1}{e} x$ sur $e^{3}$ et sur $e$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{1}{e} e^{3} - \frac{1}{e} e$

Étape 5.8.1.3

Simplifiez

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Étape 5.8.1.3.1

Associez $\frac{1}{e}$ et $e^{3}$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e^{3}}{e} - \frac{1}{e} e$

Étape 5.8.1.3.2

Annulez le facteur commun à $e^{3}$ et $e$ .

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Étape 5.8.1.3.2.1

Factorisez $e$ à partir de $e^{3}$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e} - \frac{1}{e} e$

Étape 5.8.1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.8.1.3.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e \cdot 1} - \frac{1}{e} e$

Étape 5.8.1.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e \cdot 1} - \frac{1}{e} e$

Étape 5.8.1.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e^{2}}{1} - \frac{1}{e} e$

Étape 5.8.1.3.2.2.4

Divisez $e^{2}$ par $1$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{1}{e} e$

Étape 5.8.1.3.3

Associez $e$ et $\frac{1}{e}$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{e}{e}$

Étape 5.8.1.3.4

Annulez le facteur commun de $e$ .

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Étape 5.8.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{e}{e}$

Étape 5.8.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - 1 \cdot 1$

Étape 5.8.1.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - 1$

Étape 5.8.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| e^{3} |}{| e |}) + e^{2} - 1$

Étape 5.8.3

Simplifiez

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Étape 5.8.3.1

$e^{3}$ est d’environ $20.08553692$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$- \ln (\frac{e^{3}}{| e |}) + e^{2} - 1$

Étape 5.8.3.2

$e$ est d’environ $2.71828182$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$- \ln (\frac{e^{3}}{e}) + e^{2} - 1$

Étape 5.8.3.3

Annulez le facteur commun à $e^{3}$ et $e$ .

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Étape 5.8.3.3.1

Factorisez $e$ à partir de $e^{3}$ .

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e}) + e^{2} - 1$

Étape 5.8.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.8.3.3.2.1

Multipliez par $1$ .

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e \cdot 1}) + e^{2} - 1$

Étape 5.8.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e \cdot 1}) + e^{2} - 1$

Étape 5.8.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \ln (\frac{e^{2}}{1}) + e^{2} - 1$

Étape 5.8.3.3.2.4

Divisez $e^{2}$ par $1$ .

$- \ln (e^{2}) + e^{2} - 1$

Étape 5.8.3.4

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $2$ de l’exposant.

$- (2 \ln (e)) + e^{2} - 1$

Étape 5.8.3.5

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$- (2 \cdot 1) + e^{2} - 1$

Étape 5.8.3.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 1 \cdot 2 + e^{2} - 1$

Étape 5.8.3.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 + e^{2} - 1$

Étape 5.8.3.8

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$e^{2} - 3$

Étape 6