Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{1}^{3} \frac{1}{2} j (2 j^{2} + 3 j + 5)$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \cdot (j (2 j^{2}) + j (3 j) + j \cdot 5)$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{2} \cdot (2 j \cdot j^{2} + j (3 j) + j \cdot 5)$

Étape 1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{2} \cdot (2 j \cdot j^{2} + 3 j \cdot j + j \cdot 5)$

Étape 1.2.3

Déplacez $5$ à gauche de $j$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 j \cdot j^{2} + 3 j \cdot j + 5 \cdot j)$

Étape 1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1

Multipliez $j$ par $j^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.1

Déplacez $j^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (j^{2} j) + 3 j \cdot j + 5 \cdot j)$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $j^{2}$ par $j$ .

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Étape 1.3.1.2.1

Élevez $j$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (j^{2} j^{1}) + 3 j \cdot j + 5 \cdot j)$

Étape 1.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \cdot (2 j^{2 + 1} + 3 j \cdot j + 5 \cdot j)$

Étape 1.3.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 j^{3} + 3 j \cdot j + 5 \cdot j)$

Étape 1.3.2

Multipliez $j$ par $j$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.2.1

Déplacez $j$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 j^{3} + 3 (j \cdot j) + 5 \cdot j)$

Étape 1.3.2.2

Multipliez $j$ par $j$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 j^{3} + 3 j^{2} + 5 \cdot j)$

$\frac{1}{2} \cdot (2 j^{3} + 3 j^{2} + 5 j)$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} (2 j^{3}) + \frac{1}{2} (3 j^{2}) + \frac{1}{2} (5 j)$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 j^{3}$ .

$\frac{1}{2} (2 (j^{3})) + \frac{1}{2} (3 j^{2}) + \frac{1}{2} (5 j)$

Étape 1.5.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (2 j^{3}) + \frac{1}{2} (3 j^{2}) + \frac{1}{2} (5 j)$

Étape 1.5.1.3

Réécrivez l’expression.

$j^{3} + \frac{1}{2} (3 j^{2}) + \frac{1}{2} (5 j)$

Étape 1.5.2

Multipliez $\frac{1}{2} (3 j^{2})$ .

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Étape 1.5.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$j^{3} + \frac{3}{2} j^{2} + \frac{1}{2} (5 j)$

Étape 1.5.2.2

Associez $\frac{3}{2}$ et $j^{2}$ .

$j^{3} + \frac{3 j^{2}}{2} + \frac{1}{2} (5 j)$

Étape 1.5.3

Multipliez $\frac{1}{2} (5 j)$ .

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Étape 1.5.3.1

Associez $5$ et $\frac{1}{2}$ .

$j^{3} + \frac{3 j^{2}}{2} + \frac{5}{2} j$

Étape 1.5.3.2

Associez $\frac{5}{2}$ et $j$ .

$j^{3} + \frac{3 j^{2}}{2} + \frac{5 j}{2}$

Étape 1.6

Réécrivez l’addition.

$\sum_{j = 1}^{3} j^{3} + \frac{3 j^{2}}{2} + \frac{5 j}{2}$

Étape 2

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $3$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Étape 3

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(\frac{1}{2} + 5) (\frac{3^{2} {(3 + 1)}^{2}}{4})$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Additionnez $3$ et $1$ .

$(\frac{1}{2} + 5) \frac{3^{2} \cdot 4^{2}}{4}$

Étape 4.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$(\frac{1}{2} + 5) \frac{9 \cdot 4^{2}}{4}$

Étape 4.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$(\frac{1}{2} + 5) \frac{9 \cdot 16}{4}$

Étape 4.2

Multipliez $9$ par $16$ .

$(\frac{1}{2} + 5) \frac{144}{4}$

Étape 4.3

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$(\frac{1}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}) \frac{144}{4}$

Étape 4.4

Associez $5$ et $\frac{2}{2}$ .

$(\frac{1}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}) \frac{144}{4}$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 5 \cdot 2}{2} \cdot \frac{144}{4}$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{1 + 10}{2} \cdot \frac{144}{4}$

Étape 4.6.2

Additionnez $1$ et $10$ .

$\frac{11}{2} \cdot \frac{144}{4}$

Étape 4.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.7.1

Factorisez $2$ à partir de $144$ .

$\frac{11}{2} \cdot \frac{2 (72)}{4}$

Étape 4.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{11}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{4}$

Étape 4.7.3

Réécrivez l’expression.

$11 (\frac{72}{4})$

Étape 4.8

Associez $11$ et $\frac{72}{4}$ .

$\frac{11 \cdot 72}{4}$

Étape 4.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.9.1

Multipliez $11$ par $72$ .

$\frac{792}{4}$

Étape 4.9.2

Divisez $792$ par $4$ .

$198$