Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 e^{x} - 3$ ; $[- 4, 3]$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$4 e^{x} - 3 = 0$

Étape 1.2

Résolvez $4 e^{x} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$4 e^{x} = 3$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $4 e^{x} = 3$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 e^{x} = 3$ par $4$ .

$\frac{4 e^{x}}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 e^{x}}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Divisez $e^{x}$ par $1$ .

$e^{x} = \frac{3}{4}$

Étape 1.2.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3}{4})$

Étape 1.2.4

Développez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (\frac{3}{4})$

Étape 1.2.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3}{4})$

Étape 1.2.4.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (\frac{3}{4})$

Étape 1.3

Remplacez $x$ par $\ln (\frac{3}{4})$ .

$y = 0$

Étape 1.4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(\ln (\frac{3}{4}), 0)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 0 d x - \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 4 e^{x} - 3 d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- 4$ et $\ln (\frac{3}{4})$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 0 - (4 e^{x} - 3) d x$

Étape 3.2

Soustrayez $4 e^{x} - 3$ de $0$ .

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - (4 e^{x} - 3) d x$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - (4 e^{x}) + 3 d x$

Étape 3.4

Multipliez.

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Étape 3.4.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 e^{x} - - 3$

Étape 3.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$- 4 e^{x} + 3$

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - 4 e^{x} + 3 d x$

Étape 3.5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - 4 e^{x} d x + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

Étape 3.6

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$- 4 \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} e^{x} d x + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

Étape 3.7

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$- 4 (e^{x}]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}) + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

Étape 3.8

Appliquez la règle de la constante.

$- 4 (e^{x}]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 x]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}$

Étape 3.9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.9.1

Évaluez $e^{x}$ sur $\ln (\frac{3}{4})$ et sur $- 4$ .

$- 4 ((e^{\ln (\frac{3}{4})}) - e^{- 4}) + 3 x]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}$

Étape 3.9.2

Évaluez $3 x$ sur $\ln (\frac{3}{4})$ et sur $- 4$ .

$- 4 (e^{\ln (\frac{3}{4})} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) - 3 \cdot - 4$

Étape 3.9.3

Simplifiez

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Étape 3.9.3.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$- 4 (\frac{3}{4} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) - 3 \cdot - 4$

Étape 3.9.3.2

Multipliez $- 3$ par $- 4$ .

$- 4 (\frac{3}{4} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Étape 3.10

Simplifiez

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Étape 3.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.10.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (\frac{3}{4} - \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Étape 3.10.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 (\frac{3}{4}) - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Étape 3.10.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.10.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{3}{4} - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Étape 3.10.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot - 1 \frac{3}{4} - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Étape 3.10.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 3 - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Étape 3.10.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Étape 3.10.1.5

Multipliez $- 4 (- \frac{1}{e^{4}})$ .

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Étape 3.10.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$- 3 + 4 \frac{1}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Étape 3.10.1.5.2

Associez $4$ et $\frac{1}{e^{4}}$ .

$- 3 + \frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Étape 3.10.2

Additionnez $- 3$ et $12$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 9$

Étape 4

$A r e a = \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 d x - \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 0 d x$

Étape 5

Intégrez pour déterminer l’aire entre $\ln (\frac{3}{4})$ et $3$ .

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Étape 5.1

Intégrez pour déterminer l’aire entre $\ln (\frac{3}{4})$ et $3$ .

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Étape 5.1.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 0 - (4 e^{x} - 3) d x$

Étape 5.1.2

Soustrayez $4 e^{x} - 3$ de $0$ .

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - (4 e^{x} - 3) d x$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - (4 e^{x}) + 3 d x$

Étape 5.1.4

Multipliez.

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Étape 5.1.4.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 e^{x} - - 3$

Étape 5.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$- 4 e^{x} + 3$

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 4 e^{x} + 3 d x$

Étape 5.1.5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 4 e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

Étape 5.1.6

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$- 4 \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

Étape 5.1.7

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$- 4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

Étape 5.1.8

Appliquez la règle de la constante.

$- 4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Étape 5.1.9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1.9.1

Évaluez $e^{x}$ sur $3$ et sur $\ln (\frac{3}{4})$ .

$- 4 ((e^{3}) - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Étape 5.1.9.2

Évaluez $3 x$ sur $3$ et sur $\ln (\frac{3}{4})$ .

$- 4 (e^{3} - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 \cdot 3 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Étape 5.1.9.3

Simplifiez

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Étape 5.1.9.3.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$- 4 (e^{3} - \frac{3}{4}) + 3 \cdot 3 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Étape 5.1.9.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$- 4 (e^{3} - \frac{3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Étape 5.1.10

Simplifiez

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Étape 5.1.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.10.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 e^{3} - 4 (- \frac{3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Étape 5.1.10.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.1.10.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{4}$ dans le numérateur.

$- 4 e^{3} - 4 (\frac{- 3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Étape 5.1.10.1.2.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$- 4 e^{3} + 4 (- 1) \frac{- 3}{4} + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Étape 5.1.10.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$- 4 e^{3} + 4 \cdot - 1 \frac{- 3}{4} + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Étape 5.1.10.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$- 4 e^{3} - - 3 + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Étape 5.1.10.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$- 4 e^{3} + 3 + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Étape 5.1.10.2

Additionnez $3$ et $9$ .

$- 4 e^{3} + 12 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Étape 5.2

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 - (0) d x$

Étape 5.3

Soustrayez $0$ de $4 e^{x} - 3$ .

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 d x$

Étape 5.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

Étape 5.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

Étape 5.6

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

Étape 5.7

Appliquez la règle de la constante.

$4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + - 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Étape 5.8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.8.1

Évaluez $e^{x}$ sur $3$ et sur $\ln (\frac{3}{4})$ .

$4 ((e^{3}) - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + - 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Étape 5.8.2

Évaluez $- 3 x$ sur $3$ et sur $\ln (\frac{3}{4})$ .

$4 (e^{3} - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + - 3 \cdot 3 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Étape 5.8.3

Simplifiez

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Étape 5.8.3.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$4 (e^{3} - \frac{3}{4}) - 3 \cdot 3 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Étape 5.8.3.2

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$4 (e^{3} - \frac{3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Étape 5.9

Simplifiez

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Étape 5.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.9.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 e^{3} + 4 (- \frac{3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Étape 5.9.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.9.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{4}$ dans le numérateur.

$4 e^{3} + 4 (\frac{- 3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Étape 5.9.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 e^{3} + 4 (\frac{- 3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Étape 5.9.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 e^{3} - 3 - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Étape 5.9.2

Soustrayez $9$ de $- 3$ .

$4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Étape 6

Additionnez les aires $\frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$ .

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Simplifiez $3 \ln (\frac{3}{4})$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\frac{4}{e^{4}} + \ln ({(\frac{3}{4})}^{3}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Étape 6.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{3^{3}}{4^{3}}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Étape 6.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{4^{3}}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Étape 6.1.4

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Étape 6.1.5

Simplifiez $3 \ln (\frac{3}{4})$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln ({(\frac{3}{4})}^{3})$

Étape 6.1.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{3^{3}}{4^{3}})$

Étape 6.1.7

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{4^{3}})$

Étape 6.1.8

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{64})$

Étape 6.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{64} \cdot \frac{27}{64})$

Étape 6.3

Multipliez $\frac{27}{64} \cdot \frac{27}{64}$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{27}{64}$ par $\frac{27}{64}$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27 \cdot 27}{64 \cdot 64})$

Étape 6.3.2

Multipliez $27$ par $27$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{729}{64 \cdot 64})$

Étape 6.3.3

Multipliez $64$ par $64$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{729}{4096})$

Étape 6.4

Soustrayez $12$ de $9$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 4 e^{3} - 3 + \ln (\frac{729}{4096})$

Étape 7