Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{6}{8 x - 1}$ , $[4, 8]$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$\frac{6}{8 x - 1} = 0$

Étape 1.2

Résolvez $\frac{6}{8 x - 1} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$6 = 0$

Étape 1.2.2

Comme $6 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{4}^{8} \frac{6}{8 x - 1} d x - \int_{4}^{8} 0 d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $4$ et $8$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{4}^{8} \frac{6}{8 x - 1} - (0) d x$

Étape 3.2

Soustrayez $0$ de $\frac{6}{8 x - 1}$ .

$\int_{4}^{8} \frac{6}{8 x - 1} d x$

Étape 3.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int_{4}^{8} \frac{1}{8 x - 1} d x$

Étape 3.4

Laissez $u = 8 x - 1$ . Alors $d u = 8 d x$ , donc $\frac{1}{8} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.4.1

Laissez $u = 8 x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.4.1.1

Différenciez $8 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [8 x - 1]$

Étape 3.4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Étape 3.4.1.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.4.1.3.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.4.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 + 0$

Étape 3.4.1.4.2

Additionnez $8$ et $0$ .

$8$

Étape 3.4.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 8 x - 1$ .

$u_{lower} = 8 \cdot 4 - 1$

Étape 3.4.3

Simplifiez

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Étape 3.4.3.1

Multipliez $8$ par $4$ .

$u_{lower} = 32 - 1$

Étape 3.4.3.2

Soustrayez $1$ de $32$ .

$u_{lower} = 31$

Étape 3.4.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 8 x - 1$ .

$u_{upper} = 8 \cdot 8 - 1$

Étape 3.4.5

Simplifiez

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Étape 3.4.5.1

Multipliez $8$ par $8$ .

$u_{upper} = 64 - 1$

Étape 3.4.5.2

Soustrayez $1$ de $64$ .

$u_{upper} = 63$

Étape 3.4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 31$

$u_{upper} = 63$

Étape 3.4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$6 \int_{31}^{63} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{8}$ .

$6 \int_{31}^{63} \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Étape 3.5.2

Déplacez $8$ à gauche de $u$ .

$6 \int_{31}^{63} \frac{1}{8 u} d u$

Étape 3.6

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{1}{8} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u)$

Étape 3.7

Simplifiez

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Étape 3.7.1

Associez $\frac{1}{8}$ et $6$ .

$\frac{6}{8} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

Étape 3.7.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $8$ .

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Étape 3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (3)}{8} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

Étape 3.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

Étape 3.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

Étape 3.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{4} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

Étape 3.8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{3}{4} \ln (| u |)]_{31}^{63}$

Étape 3.9

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $63$ et sur $31$ .

$\frac{3}{4} (\ln (| 63 |) - \ln (| 31 |))$

Étape 3.10

Simplifiez

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Étape 3.10.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{3}{4} \ln (\frac{| 63 |}{| 31 |})$

Étape 3.10.2

Associez $\frac{3}{4}$ et $\ln (\frac{| 63 |}{| 31 |})$ .

$\frac{3 \ln (\frac{| 63 |}{| 31 |})}{4}$

Étape 3.11

Simplifiez

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Étape 3.11.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $63$ est $63$ .

$\frac{3 \ln (\frac{63}{| 31 |})}{4}$

Étape 3.11.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $31$ est $31$ .

$\frac{3 \ln (\frac{63}{31})}{4}$

Étape 4

Additionnez les aires $\frac{3 \ln (\frac{63}{31})}{4}$ .

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Étape 4.1

Simplifiez $3 \ln (\frac{63}{31})$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\frac{\ln ({(\frac{63}{31})}^{3})}{4}$

Étape 4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{63}{31}$ .

$\frac{\ln (\frac{63^{3}}{31^{3}})}{4}$

Étape 4.2.2

Élevez $63$ à la puissance $3$ .

$\frac{\ln (\frac{250047}{31^{3}})}{4}$

Étape 4.2.3

Élevez $31$ à la puissance $3$ .

$\frac{\ln (\frac{250047}{29791})}{4}$

Étape 4.3

Réécrivez $\frac{\ln (\frac{250047}{29791})}{4}$ comme $\frac{1}{4} \ln (\frac{250047}{29791})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{250047}{29791})$

Étape 4.4

Simplifiez $\frac{1}{4} \ln (\frac{250047}{29791})$ en déplaçant $\frac{1}{4}$ dans le logarithme.

$\ln ({(\frac{250047}{29791})}^{\frac{1}{4}})$

Étape 4.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{250047}{29791}$ .

$\ln (\frac{250047^{\frac{1}{4}}}{29791^{\frac{1}{4}}})$

Étape 5