Calcul infinitésimal Exemples

$x = 4 t - 1$ , $y = 2 t^{2} + 3 t - 4$

Étape 1

Définissez l’équation paramétrique pour $x (t)$ afin de résoudre l’équation pour $t$ .

$x = 4 t - 1$

Étape 2

Réécrivez l’équation comme $4 t - 1 = x$ .

$4 t - 1 = x$

Étape 3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 t = x + 1$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $4 t = x + 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $4 t = x + 1$ par $4$ .

$\frac{4 t}{4} = \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 t}{4} = \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 5

Remplacez $t$ dans l’équation par $y$ pour obtenir l’équation en termes de $x$ .

$y = 2 {(\frac{x}{4} + \frac{1}{4})}^{2} + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Étape 6

Simplifiez $2 {(\frac{x}{4} + \frac{1}{4})}^{2} + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$ .

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Réécrivez ${(\frac{x}{4} + \frac{1}{4})}^{2}$ comme $(\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{x}{4} + \frac{1}{4})$ .

$y = 2 ((\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{x}{4} + \frac{1}{4})) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.2

Développez $(\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{x}{4} + \frac{1}{4})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 2 (\frac{x}{4} (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} (\frac{x}{4} + \frac{1}{4})) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = 2 (\frac{x}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} (\frac{x}{4} + \frac{1}{4})) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = 2 (\frac{x}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.3.1.1

Multipliez $\frac{x}{4} \cdot \frac{x}{4}$ .

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Étape 6.1.3.1.1.1

Multipliez $\frac{x}{4}$ par $\frac{x}{4}$ .

$y = 2 (\frac{x \cdot x}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.3.1.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = 2 (\frac{x^{1} x}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.3.1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = 2 (\frac{x^{1} x^{1}}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.3.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = 2 (\frac{x^{1 + 1}}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.3.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.3.1.1.6

Multipliez $4$ par $4$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.3.1.2

Multipliez $\frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 6.1.3.1.2.1

Multipliez $\frac{x}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{4 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.3.1.2.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.3.1.3

Multipliez $\frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4}$ .

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Étape 6.1.3.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{x}{4}$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{16} + \frac{x}{4 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.3.1.3.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{16} + \frac{x}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.3.1.4

Multipliez $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 6.1.3.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{16} + \frac{x}{16} + \frac{1}{4 \cdot 4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.3.1.4.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{16} + \frac{x}{16} + \frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.3.2

Additionnez $\frac{x}{16}$ et $\frac{x}{16}$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + 2 \frac{x}{16} + \frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + 2 \frac{x}{2 (8)} + \frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + 2 \frac{x}{2 \cdot 8} + \frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{8} + \frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$y = 2 \frac{x^{2}}{16} + 2 \frac{x}{8} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.6

Simplifiez

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Étape 6.1.6.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$y = 2 \frac{x^{2}}{2 (8)} + 2 \frac{x}{8} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.6.1.2

Annulez le facteur commun.

$y = 2 \frac{x^{2}}{2 \cdot 8} + 2 \frac{x}{8} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.6.1.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{8} + 2 \frac{x}{8} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + 2 \frac{x}{2 (4)} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2}}{8} + 2 \frac{x}{2 \cdot 4} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.6.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.6.3.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + 2 \frac{1}{2 (8)} + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.6.3.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + 2 \frac{1}{2 \cdot 8} + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.6.3.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + \frac{1}{8} + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + \frac{1}{8} + 3 \frac{x}{4} + 3 (\frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.8

Associez $3$ et $\frac{x}{4}$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + \frac{1}{8} + \frac{3 x}{4} + 3 (\frac{1}{4}) - 4$

Étape 6.1.9

Associez $3$ et $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + \frac{1}{8} + \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} - 4$

Étape 6.2

Simplifiez les termes.

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Étape 6.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - 4 + \frac{x^{2}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{x + 3 x + 3}{4}$

Étape 6.2.2

Additionnez $x$ et $3 x$ .

$y = - 4 + \frac{x^{2}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

Étape 6.3

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} - 4 \cdot \frac{8}{8} + \frac{1}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

Étape 6.4

Associez $- 4$ et $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 4 \cdot 8}{8} + \frac{1}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

Étape 6.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 4 \cdot 8 + 1}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

Étape 6.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.6.1

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 32 + 1}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

Étape 6.6.2

Additionnez $- 32$ et $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 31}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

Étape 6.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x^{2}}{8} - \frac{31}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

Étape 6.8

Pour écrire $\frac{4 x + 3}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{4 x + 3}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{31}{8}$

Étape 6.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.9.1

Multipliez $\frac{4 x + 3}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{(4 x + 3) \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{31}{8}$

Étape 6.9.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{(4 x + 3) \cdot 2}{8} - \frac{31}{8}$

Étape 6.10

Simplifiez les termes.

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Étape 6.10.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x^{2} + (4 x + 3) \cdot 2}{8} - \frac{31}{8}$

Étape 6.10.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x^{2} + (4 x + 3) \cdot 2 - 31}{8}$

Étape 6.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x^{2} + 4 x \cdot 2 + 3 \cdot 2 - 31}{8}$

Étape 6.11.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{x^{2} + 8 x + 3 \cdot 2 - 31}{8}$

Étape 6.11.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$y = \frac{x^{2} + 8 x + 6 - 31}{8}$

Étape 6.12

Soustrayez $31$ de $6$ .

$y = \frac{x^{2} + 8 x - 25}{8}$