Calcul infinitésimal Exemples

$0 = a x^{2} + b x + c$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (0) = \frac{d}{d x} (a x^{2} + b x + c)$

Étape 2

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a x^{2} + b x + c$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = a$ et $g (x) = x^{2}$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$a (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 3.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [a]$ comme $a'$ .

$a (2 x) + x^{2} a' + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 3.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $a$ .

$2 a x + x^{2} a' + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [b x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $b$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $b x$ par rapport à $x$ est $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 a x + x^{2} a' + b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 a x + x^{2} a' + b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 3.3.3

Multipliez $b$ par $1$ .

$2 a x + x^{2} a' + b + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 3.4

Comme $c$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $c$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 a x + x^{2} a' + b + 0$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Additionnez $2 a x + x^{2} a' + b$ et $0$ .

$2 a x + x^{2} a' + b$

Étape 3.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$b + 2 a x + x^{2} a'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$0 = b + 2 a x + x^{2} a'$

Étape 5

Résolvez $a'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $b + 2 a x + x^{2} a' = 0$ .

$b + 2 a x + x^{2} a' = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $a'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $b$ des deux côtés de l’équation.

$2 a x + x^{2} a' = - b$

Étape 5.2.2

Soustrayez $2 a x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} a' = - b - 2 a x$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $x^{2} a' = - b - 2 a x$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} a' = - b - 2 a x$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} a'}{x^{2}} = \frac{- b}{x^{2}} + \frac{- 2 a x}{x^{2}}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} a'}{x^{2}} = \frac{- b}{x^{2}} + \frac{- 2 a x}{x^{2}}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $a'$ par $1$ .

$a' = \frac{- b}{x^{2}} + \frac{- 2 a x}{x^{2}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$a' = - \frac{b}{x^{2}} + \frac{- 2 a x}{x^{2}}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 5.3.3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- 2 a x$ .

$a' = - \frac{b}{x^{2}} + \frac{x (- 2 a)}{x^{2}}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$a' = - \frac{b}{x^{2}} + \frac{x (- 2 a)}{x \cdot x}$

Étape 5.3.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$a' = - \frac{b}{x^{2}} + \frac{x (- 2 a)}{x \cdot x}$

Étape 5.3.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$a' = - \frac{b}{x^{2}} + \frac{- 2 a}{x}$

Étape 5.3.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$a' = - \frac{b}{x^{2}} - \frac{2 a}{x}$

Étape 6

Remplacez $a'$ par $\frac{d a}{d x}$ .

$\frac{d a}{d x} = - \frac{b}{x^{2}} - \frac{2 a}{x}$