Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 27 x + 2$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{2}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 27 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 27 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.2.3

Associez $3$ et $\frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.2.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.2.5

Associez $\frac{6}{3}$ et $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.2.6

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 1.1.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.2.6.2.4

Divisez $2 x^{2}$ par $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 x^{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x^{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.3.3

Associez $2$ et $\frac{3}{2}$ .

$f' (x) = 2 x^{2} + \frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$f' (x) = 2 x^{2} + \frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.3.5

Associez $\frac{6}{2}$ et $x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} + \frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.3.6

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 1.1.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f' (x) = 2 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = 2 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = 2 x^{2} + \frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.3.6.2.4

Divisez $3 x$ par $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} + 3 x + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 27 x]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 27 x$ par rapport à $x$ est $- 27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 x^{2} + 3 x - 27 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} + 3 x - 27 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $- 27$ par $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} + 3 x - 27 + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 2 x^{2} + 3 x - 27 + 0$

Étape 1.1.5.2

Additionnez $2 x^{2} + 3 x - 27$ et $0$ .

$f' (x) = 2 x^{2} + 3 x - 27$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x^{2} + 3 x - 27$ .

$2 x^{2} + 3 x - 27$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x^{2} + 3 x - 27 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x^{2} + 3 x - 27 = 0$

Étape 2.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 27 = - 54$ et dont la somme est $b = 3$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$2 x^{2} + 3 (x) - 27 = 0$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $3$ comme $- 6$ plus $9$

$2 x^{2} + (- 6 + 9) x - 27 = 0$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - 6 x + 9 x - 27 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x^{2} - 6 x) + 9 x - 27 = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 x (x - 3) + 9 (x - 3) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 3$ .

$(x - 3) (2 x + 9) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$2 x + 9 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.5

Définissez $2 x + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $2 x + 9$ égal à $0$ .

$2 x + 9 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $2 x + 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 9$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 9$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 9$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 9}{2}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 9}{2}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 9}{2}$

Étape 2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{9}{2}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (2 x + 9) = 0$ vraie.

$x = 3, - \frac{9}{2}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $\frac{2}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 27 x + 2$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(3)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(3)}^{2} - 27 \cdot 3 + 2$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de ${(3)}^{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) + \frac{3}{2} \cdot {(3)}^{2} - 27 \cdot 3 + 2$

Étape 4.1.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) + \frac{3}{2} \cdot {(3)}^{2} - 27 \cdot 3 + 2$

Étape 4.1.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 3^{2} + \frac{3}{2} \cdot {(3)}^{2} - 27 \cdot 3 + 2$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$2 \cdot 9 + \frac{3}{2} \cdot {(3)}^{2} - 27 \cdot 3 + 2$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $2$ par $9$ .

$18 + \frac{3}{2} \cdot {(3)}^{2} - 27 \cdot 3 + 2$

Étape 4.1.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$18 + \frac{3}{2} \cdot 9 - 27 \cdot 3 + 2$

Étape 4.1.2.1.5

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot 9$ .

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Étape 4.1.2.1.5.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $9$ .

$18 + \frac{3 \cdot 9}{2} - 27 \cdot 3 + 2$

Étape 4.1.2.1.5.2

Multipliez $3$ par $9$ .

$18 + \frac{27}{2} - 27 \cdot 3 + 2$

Étape 4.1.2.1.6

Multipliez $- 27$ par $3$ .

$18 + \frac{27}{2} - 81 + 2$

Étape 4.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.1.2.2.1

Écrivez $18$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{18}{1} + \frac{27}{2} - 81 + 2$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{18}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{18}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{2} - 81 + 2$

Étape 4.1.2.2.3

Multipliez $\frac{18}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{18 \cdot 2}{2} + \frac{27}{2} - 81 + 2$

Étape 4.1.2.2.4

Écrivez $- 81$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{18 \cdot 2}{2} + \frac{27}{2} + \frac{- 81}{1} + 2$

Étape 4.1.2.2.5

Multipliez $\frac{- 81}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{18 \cdot 2}{2} + \frac{27}{2} + \frac{- 81}{1} \cdot \frac{2}{2} + 2$

Étape 4.1.2.2.6

Multipliez $\frac{- 81}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{18 \cdot 2}{2} + \frac{27}{2} + \frac{- 81 \cdot 2}{2} + 2$

Étape 4.1.2.2.7

Écrivez $2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{18 \cdot 2}{2} + \frac{27}{2} + \frac{- 81 \cdot 2}{2} + \frac{2}{1}$

Étape 4.1.2.2.8

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{18 \cdot 2}{2} + \frac{27}{2} + \frac{- 81 \cdot 2}{2} + \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.1.2.2.9

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{18 \cdot 2}{2} + \frac{27}{2} + \frac{- 81 \cdot 2}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Étape 4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{18 \cdot 2 + 27 - 81 \cdot 2 + 2 \cdot 2}{2}$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $18$ par $2$ .

$\frac{36 + 27 - 81 \cdot 2 + 2 \cdot 2}{2}$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $- 81$ par $2$ .

$\frac{36 + 27 - 162 + 2 \cdot 2}{2}$

Étape 4.1.2.4.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{36 + 27 - 162 + 4}{2}$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.5.1

Additionnez $36$ et $27$ .

$\frac{63 - 162 + 4}{2}$

Étape 4.1.2.5.2

Soustrayez $162$ de $63$ .

$\frac{- 99 + 4}{2}$

Étape 4.1.2.5.3

Additionnez $- 99$ et $4$ .

$\frac{- 95}{2}$

Étape 4.1.2.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{95}{2}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - \frac{9}{2}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- \frac{9}{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(- \frac{9}{2})}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{9}{2})}^{2} - 27 (- \frac{9}{2}) + 2$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{9}{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{9}{2})}^{3}) + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{9}{2})}^{2} - 27 (- \frac{9}{2}) + 2$

Étape 4.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{9}{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} \frac{9^{3}}{2^{3}}) + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{9}{2})}^{2} - 27 (- \frac{9}{2}) + 2$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot (- \frac{9^{3}}{2^{3}}) + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{9}{2})}^{2} - 27 (- \frac{9}{2}) + 2$

Étape 4.2.2.1.3

Élevez $9$ à la puissance $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot (- \frac{729}{2^{3}}) + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{9}{2})}^{2} - 27 (- \frac{9}{2}) + 2$

Étape 4.2.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot (- \frac{729}{8}) + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{9}{2})}^{2} - 27 (- \frac{9}{2}) + 2$

Étape 4.2.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{729}{8}$ dans le numérateur.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{- 729}{8} + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{9}{2})}^{2} - 27 (- \frac{9}{2}) + 2$

Étape 4.2.2.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{- 729}{2 (4)} + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{9}{2})}^{2} - 27 (- \frac{9}{2}) + 2$

Étape 4.2.2.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{- 729}{2 \cdot 4} + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{9}{2})}^{2} - 27 (- \frac{9}{2}) + 2$

Étape 4.2.2.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 729}{4} + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{9}{2})}^{2} - 27 (- \frac{9}{2}) + 2$

Étape 4.2.2.1.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $- 729$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (- 243)}{4} + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{9}{2})}^{2} - 27 (- \frac{9}{2}) + 2$

Étape 4.2.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot - 243}{4} + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{9}{2})}^{2} - 27 (- \frac{9}{2}) + 2$

Étape 4.2.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 243}{4} + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{9}{2})}^{2} - 27 (- \frac{9}{2}) + 2$

Étape 4.2.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{243}{4} + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{9}{2})}^{2} - 27 (- \frac{9}{2}) + 2$

Étape 4.2.2.1.8

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.2.1.8.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{9}{2}$ .

$- \frac{243}{4} + \frac{3}{2} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{9}{2})}^{2}) - 27 (- \frac{9}{2}) + 2$

Étape 4.2.2.1.8.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{9}{2}$ .

$- \frac{243}{4} + \frac{3}{2} \cdot ({(- 1)}^{2} \frac{9^{2}}{2^{2}}) - 27 (- \frac{9}{2}) + 2$

Étape 4.2.2.1.9

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{243}{4} + \frac{3}{2} \cdot (1 \frac{9^{2}}{2^{2}}) - 27 (- \frac{9}{2}) + 2$

Étape 4.2.2.1.10

Multipliez $\frac{9^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$- \frac{243}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{9^{2}}{2^{2}} - 27 (- \frac{9}{2}) + 2$

Étape 4.2.2.1.11

Associez.

$- \frac{243}{4} + \frac{3 \cdot 9^{2}}{2 \cdot 2^{2}} - 27 (- \frac{9}{2}) + 2$

Étape 4.2.2.1.12

Multipliez $2$ par $2^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.2.1.12.1

Multipliez $2$ par $2^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1.12.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$- \frac{243}{4} + \frac{3 \cdot 9^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2}} - 27 (- \frac{9}{2}) + 2$

Étape 4.2.2.1.12.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{243}{4} + \frac{3 \cdot 9^{2}}{2^{1 + 2}} - 27 (- \frac{9}{2}) + 2$

Étape 4.2.2.1.12.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{243}{4} + \frac{3 \cdot 9^{2}}{2^{3}} - 27 (- \frac{9}{2}) + 2$

Étape 4.2.2.1.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.1.13.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- \frac{243}{4} + \frac{3 \cdot {(3^{2})}^{2}}{2^{3}} - 27 (- \frac{9}{2}) + 2$

Étape 4.2.2.1.13.2

Multipliez les exposants dans ${(3^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1.13.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{243}{4} + \frac{3 \cdot 3^{2 \cdot 2}}{2^{3}} - 27 (- \frac{9}{2}) + 2$

Étape 4.2.2.1.13.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{243}{4} + \frac{3 \cdot 3^{4}}{2^{3}} - 27 (- \frac{9}{2}) + 2$

Étape 4.2.2.1.13.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{243}{4} + \frac{3^{1 + 4}}{2^{3}} - 27 (- \frac{9}{2}) + 2$

Étape 4.2.2.1.13.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$- \frac{243}{4} + \frac{3^{5}}{2^{3}} - 27 (- \frac{9}{2}) + 2$

Étape 4.2.2.1.14

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- \frac{243}{4} + \frac{3^{5}}{8} - 27 (- \frac{9}{2}) + 2$

Étape 4.2.2.1.15

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$- \frac{243}{4} + \frac{243}{8} - 27 (- \frac{9}{2}) + 2$

Étape 4.2.2.1.16

Multipliez $- 27 (- \frac{9}{2})$ .

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Étape 4.2.2.1.16.1

Multipliez $- 1$ par $- 27$ .

$- \frac{243}{4} + \frac{243}{8} + 27 (\frac{9}{2}) + 2$

Étape 4.2.2.1.16.2

Associez $27$ et $\frac{9}{2}$ .

$- \frac{243}{4} + \frac{243}{8} + \frac{27 \cdot 9}{2} + 2$

Étape 4.2.2.1.16.3

Multipliez $27$ par $9$ .

$- \frac{243}{4} + \frac{243}{8} + \frac{243}{2} + 2$

Étape 4.2.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.2.2.2.1

Multipliez $\frac{243}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{243}{4} \cdot \frac{2}{2}) + \frac{243}{8} + \frac{243}{2} + 2$

Étape 4.2.2.2.2

Multipliez $\frac{243}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{243 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{243}{8} + \frac{243}{2} + 2$

Étape 4.2.2.2.3

Multipliez $\frac{243}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{243 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{243}{8} + \frac{243}{2} \cdot \frac{4}{4} + 2$

Étape 4.2.2.2.4

Multipliez $\frac{243}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{243 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{243}{8} + \frac{243 \cdot 4}{2 \cdot 4} + 2$

Étape 4.2.2.2.5

Écrivez $2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- \frac{243 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{243}{8} + \frac{243 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{2}{1}$

Étape 4.2.2.2.6

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{243 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{243}{8} + \frac{243 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{2}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Étape 4.2.2.2.7

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{243 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{243}{8} + \frac{243 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{2 \cdot 8}{8}$

Étape 4.2.2.2.8

Réorganisez les facteurs de $4 \cdot 2$ .

$- \frac{243 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{243}{8} + \frac{243 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{2 \cdot 8}{8}$

Étape 4.2.2.2.9

Multipliez $2$ par $4$ .

$- \frac{243 \cdot 2}{8} + \frac{243}{8} + \frac{243 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{2 \cdot 8}{8}$

Étape 4.2.2.2.10

Multipliez $2$ par $4$ .

$- \frac{243 \cdot 2}{8} + \frac{243}{8} + \frac{243 \cdot 4}{8} + \frac{2 \cdot 8}{8}$

Étape 4.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 243 \cdot 2 + 243 + 243 \cdot 4 + 2 \cdot 8}{8}$

Étape 4.2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.4.1

Multipliez $- 243$ par $2$ .

$\frac{- 486 + 243 + 243 \cdot 4 + 2 \cdot 8}{8}$

Étape 4.2.2.4.2

Multipliez $243$ par $4$ .

$\frac{- 486 + 243 + 972 + 2 \cdot 8}{8}$

Étape 4.2.2.4.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{- 486 + 243 + 972 + 16}{8}$

Étape 4.2.2.5

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.2.2.5.1

Additionnez $- 486$ et $243$ .

$\frac{- 243 + 972 + 16}{8}$

Étape 4.2.2.5.2

Additionnez $- 243$ et $972$ .

$\frac{729 + 16}{8}$

Étape 4.2.2.5.3

Additionnez $729$ et $16$ .

$\frac{745}{8}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(3, - \frac{95}{2}), (- \frac{9}{2}, \frac{745}{8})$

Étape 5