Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16 θ - 8 π}{\cos (2 π - θ)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 16 θ - 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 16 θ - lim_{θ \to \frac{π}{2}} 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Étape 1.2.1.2

Placez le terme $16$ hors de la limite car il est constant par rapport à $θ$ .

$\frac{16 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ - lim_{θ \to \frac{π}{2}} 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Étape 1.2.1.3

Évaluez la limite de $8 π$ qui est constante lorsque $θ$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{16 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ - 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $θ$ .

$\frac{16 \frac{π}{2} - 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{2 (8) \frac{π}{2} - 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Étape 1.2.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 8 \frac{π}{2} - 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Étape 1.2.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8 π - 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $8 π$ de $8 π$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{0}{\cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 π - θ)}$

Étape 1.3.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{\cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 π - lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Étape 1.3.1.3

Évaluez la limite de $2 π$ qui est constante lorsque $θ$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{\cos (2 π - lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $θ$ .

$\frac{0}{\cos (2 π - \frac{π}{2})}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{0}{\cos (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})}$

Étape 1.3.3.2

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})}$

Étape 1.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{0}{\cos (\frac{2 π \cdot 2 - π}{2})}$

Étape 1.3.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{4 π - π}{2})}$

Étape 1.3.3.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{3 π}{2})}$

Étape 1.3.3.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{2})}$

Étape 1.3.3.6

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16 θ - 8 π}{\cos (2 π - θ)} = lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [16 θ - 8 π]}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [16 θ - 8 π]}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 θ - 8 π$ par rapport à $θ$ est $\frac{d}{d θ} [16 θ] + \frac{d}{d θ} [- 8 π]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [16 θ] + \frac{d}{d θ} [- 8 π]}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d θ} [16 θ]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $16$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $16 θ$ par rapport à $θ$ est $16 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16 \frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [- 8 π]}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16 \cdot 1 + \frac{d}{d θ} [- 8 π]}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Étape 3.3.3

Multipliez $16$ par $1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16 + \frac{d}{d θ} [- 8 π]}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Étape 3.4

Comme $- 8 π$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $- 8 π$ par rapport à $θ$ est $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16 + 0}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Étape 3.5

Additionnez $16$ et $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = \cos (θ)$ et $g (θ) = 2 π - θ$ .

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Étape 3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 π - θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [2 π - θ]}$

Étape 3.6.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{- \sin (u) \frac{d}{d θ} [2 π - θ]}$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 π - θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{- \sin (2 π - θ) \frac{d}{d θ} [2 π - θ]}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 π - θ$ par rapport à $θ$ est $\frac{d}{d θ} [2 π] + \frac{d}{d θ} [- θ]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{- \sin (2 π - θ) (\frac{d}{d θ} [2 π] + \frac{d}{d θ} [- θ])}$

Étape 3.8

Comme $2 π$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $2 π$ par rapport à $θ$ est $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{- \sin (2 π - θ) (0 + \frac{d}{d θ} [- θ])}$

Étape 3.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d θ} [- θ]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{- \sin (2 π - θ) \frac{d}{d θ} [- θ]}$

Étape 3.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $- θ$ par rapport à $θ$ est $- \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{- \sin (2 π - θ) (- \frac{d}{d θ} [θ])}$

Étape 3.11

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{1 \sin (2 π - θ) \frac{d}{d θ} [θ]}$

Étape 3.12

Multipliez $\sin (2 π - θ)$ par $1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{\sin (2 π - θ) \frac{d}{d θ} [θ]}$

Étape 3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{\sin (2 π - θ) \cdot 1}$

Étape 3.14

Multipliez $\sin (2 π - θ)$ par $1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{\sin (2 π - θ)}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Placez le terme $16$ hors de la limite car il est constant par rapport à $θ$ .

$16 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{1}{\sin (2 π - θ)}$

Étape 4.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$16 \frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (2 π - θ)}$

Étape 4.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $θ$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$16 \frac{1}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (2 π - θ)}$

Étape 4.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$16 \frac{1}{\sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 π - θ)}$

Étape 4.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$16 \frac{1}{\sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 π - lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Étape 4.6

Évaluez la limite de $2 π$ qui est constante lorsque $θ$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$16 \frac{1}{\sin (2 π - lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Étape 5

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $θ$ .

$16 \frac{1}{\sin (2 π - \frac{π}{2})}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Convertissez de $\frac{1}{\sin (2 π - \frac{π}{2})}$ à $\csc (2 π - \frac{π}{2})$ .

$16 \csc (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 6.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$16 \csc (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 6.3

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$16 \csc (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$16 \csc (\frac{2 π \cdot 2 - π}{2})$

Étape 6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$16 \csc (\frac{4 π - π}{2})$

Étape 6.5.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$16 \csc (\frac{3 π}{2})$

Étape 6.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la cosécante est négative dans le quatrième quadrant.

$16 (- \csc (\frac{π}{2}))$

Étape 6.7

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$16 (- 1 \cdot 1)$

Étape 6.8

Multipliez $16 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 6.8.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$16 \cdot - 1$

Étape 6.8.2

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$- 16$